Selected Topics in Mathematics Field of study: Applied Computer Science
Programme code: W4-S1IS19.2023

Celem modułu jest zdobycie przez studiującego wiedzy i umiejętności w zakresie następujących treści kształcenia: 1. Elementy logiki i teorii zbiorów, zbiory liczbowe, funkcje: rachunek zdań, reguły wnioskowania, funkcja zdaniowa i kwantyfikatory, działania na zbiorach, liczby zespolone, postać trygonometryczna liczby zespolonej, funkcje, dziedzina i przeciwdziedzina, funkcja różnowartościowa i "na", obraz i przeciwobraz, działania na funkcjach, funkcja odwrotna, złożona, przykłady funkcji i ich wykresy (w tym funkcje cyklometryczne), operacje arytmetyczne na funkcjach i zmiana wykresów, własności funkcji (różnowartościowość, monotoniczność, okresowość, parzystość itp.). 2. Przestrzenie metryczne: definicja przestrzeni metrycznej, przykłady przestrzeni metrycznych, kule w przestrzeniach metrycznych. 3. Ciągi: własności ciągów liczbowych - działania arytmetyczne, ciągi liczb rzeczywistych - twierdzenie o trzech ciągach, przykłady obliczania granic, ciągi rozbieżne do nieskończoności, twierdzenie Stolza, granice częściowe. 4. Szeregi: proste przykłady i elementarne twierdzenia o szeregach, kryterium porównawcze zbieżności, kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego, twierdzenie Leibniza, szeregi potęgowe - twierdzenie Abela i Cauchy'ego-Hadamarda, szeregi funkcyjne - kryterium Weierstrassa, 5. Granica i ciągłość funkcji. Własności funkcji ciągłych: definicja ciągowa granicy i ciągłości, granice jednostronne i przykłady, definicja otoczeniowa (Cauchy'ego), działania na funkcjach ciągłych, przykłady granic i asymptoty, własność Darboux. 6. Pochodna funkcji jednej zmiennej: definicja pochodnej, jej geometryczna i fizyczna interpretacja , podstawowe twierdzenia w tym pochodna funkcji złożonej i odwrotnej , pochodne funkcji elementarnych, przykłady obliczania pochodnych w tym funkcji uwikłanej i danej parametrycznie oraz zastosowania do stycznych i przybliżonego obliczania wartości funkcji, pochodne wyższych rzędów: definicja, przykład, wzór Leibniza, twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania, wzór Taylora, reguła de L'Hospitala, badanie zmienności funkcji, szereg Taylora i Maclaurina – rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy, rozwinięcia najważniejszych funkcji w szeregi potęgowe. 7. Całka nieoznaczona i oznaczona: definicja całki nieoznaczonej, całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, całkowanie pewnych funkcji niewymiernych, całka oznaczona, całka oznaczona w przedziale nieskończonym, całka niewłaściwa z funkcji nieograniczonej. 8. Elementy algebry: podstawowe pojęcia dotyczące grup, pierścieni i ciał. macierze i działania na macierzach, wyznacznik macierzy i jego własności, przestrzenie liniowe, bazy, przekształcenia liniowe, wartości i wektory własne. 9. Funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych: pochodne cząstkowe, pochodna kierunkowa i gradient funkcji, zastosowania różniczki i pochodnej, pochodna funkcji złożonej, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, wzór Taylora, ekstrema lokalne, ekstrema globalne, całkowanie funkcji dwóch zmiennych - całka iterowana. Krzywoliniowe układy współrzędnych, układ kartezjański i biegunowy, układy sferyczny i cylindryczny, jakobiany przejścia pomiędzy układami współrzędnych. 10. Równania różniczkowe zwyczajne: metody rozwiązywania równań różniczkowych - równanie o zmiennych rozdzielonych, równanie zupełne, równanie liniowe, układy równań różniczkowych liniowych, równania liniowe wyższych rzędów.