Rachunek prawdopodobieństwa A Kierunek studiów: Matematyka
Kod programu: W4-S1MT19.2025

Nazwa modułu: Rachunek prawdopodobieństwa A
Kod modułu: W4-MT-S1-25-RPraA
Kod programu: W4-S1MT19.2025
Semestr: semestr zimowy 2027/2028
Język wykładowy: polski
Forma zaliczenia: egzamin
Punkty ECTS: 5
Cel i opis treści kształcenia:
Moduł „Rachunek prawdopodobieństwa A” ma na celu rozwijanie i pogłębianie umiejętności swobodnego posługiwania się pojęciami oraz narzędziami teorii prawdopodobieństwa, zdobytymi w ramach modułu „Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa A”. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Kowariancja pary zmiennych losowych i macierz kowariancji wektora losowego. 2. Wielowymiarowy rozkład normalny. 3. Funkcja charakterystyczna - przypomnienie i poglębienie zdobytej wiedzy. 4. Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych i zależności między nimi. 5. Związek między zbieżnością wg. rozkładu i z punktową zbieżnością funkcji charakterystycznych. 6. Centralne twierdzenie graniczne. 7. Prawa wielkich liczb. 8. Warunkowa wartość oczekiwana. 9. Martyngały z czasem dyskretnym. 10. Dyskretne łańcuchy Markowa.
Lista modułów koniecznych do zaliczenia przed przystąpieniem do tego modułu (o ile to konieczne): Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa A [W4-MT-S1-25-WRPrA]
Efekt modułowy Kody efektów kierunkowych do których odnosi się efekt modułowy [stopień realizacji: skala 1-5]
Zna pojęcie kowariancji pary zmiennych losowych oraz macierzy kowariancji wektora losowego i jej najważniejsze własności. Rozumie różnicę między niezależnością i brakiem korelacji zmiennych losowych. [RPraA_01]
 K_W04 [4/5]
Potrafi wyznaczyć macierz kowariancji wektora losowego o zadanym rozkładzie (ciągłym lub dyskretnym) oraz znaleźć macierz kowariancji jego dowolnego przekształcenia liniowego. [RPraA_02]
 K_U03 [3/5] K_U04 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie wielowymiarowego rozkładu normalnego oraz postać jego gęstości. Wie, jak wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji rozkładu normalnego o zadanej gęstości, jak również gęstość takiego rozkładu na podstawie znajomości tych parametrów. [RPraA_03]
 K_W01 [1/5] K_W04 [4/5]
Zna definicje różnych rodzajów zbieżności zmiennych losowych oraz implikacje między nimi, ponadto zna przykłady ilustrujące brak implikacji w określonym kierunku. [RPraA_04]
 K_W04 [4/5] K_W05 [5/5]
Zna centralne twierdzenie granicznego Lindeberga-Levy'ego (dla ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) i najważniejsze kryteria gwarantujące spełnienie mocnego i słabego prawa wielkich liczb. Ma właściwe intuicje co do tych twierdzeń i rozumie ich w znacznie w statystyce. [RPraA_05]
 K_W01 [2/5] K_W03 [4/5] K_W04 [4/5]
Potrafi stosować centralne twierdzenie graniczne do wyznaczania przybliżonych prawdopodobieństw zdarzeń opisanych przez sumy niezależnych zmiennych losowych. W określonych przypadkach potrafi wykazać, że dany ciąg zmiennych losowych spełnia mocne / słabe prawo wielkich liczb, bądź udowodnić, że prawo to nie zachodzi. [RPraA_06]
 K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Wie i rozumie czym jest warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej względem σ-ciała (w szczególności generowanego przez wektor losowy), jak również zna jej własności. Wie, jak sformułować uogólnioną definicję prawdopodobieństwa warunkowego i warunkowego rozkładu zmiennej losowej (względem wektora losowego). [RPraA_07]
 K_W01 [1/5] K_W02 [2/5] K_W04 [4/5]
Potrafi wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną E[f(X,Y)|Y] dla danego wektora losowego (X,Y) o rozkładzie ciągłym lub dyskretnym, jak również wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej f(X) przy danym rozkładzie warunkowym zmiennej X. [RPraA_08]
 K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcia filtracji przestrzeni probabilistycznej, momentu stopu, martyngału, podmartyngału oraz nadmartyngału (z czasem dyskretnym), rozumie intuicje stojące za tym pojęciami oraz potrafi wskazać ilustrujące je przykłady. Ponadto, zna wybrane twierdzenia dotyczące (pod/nad)martyngałów. [RPraA_09]
 K_W04 [4/5] K_W05 [3/5]
Potrafi zbadać, czy (lub dla jakich wartości parametrów) dany ciąg zmiennych losowych jest (pod/nad) martyngałem względem zadanej filtracji. [RPraA_10]
 K_U01 [2/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie jednorodnego (w czasie) łańcucha Markowa, jego rozkładu początkowego, macierzy przejścia oraz jej najważniejsze własności, jak również twierdzenie o istnieniu łańcucha Markowa o zadanych charakterystykach. Wie, jak klasyfikuje się stany łańcucha Markowa ze względu na charakter komunikacji między nimi, szanse i okresy powrotu do poszczególnych stanów oraz zna najważniejsze kryteria pozwalające na dokonanie tej klasyfikacji. Wie, czym jest rozkład stacjonarny łańcucha Markowa oraz zna twierdzenie ergodyczne dla nieprzywiedlnych i nieokresowych łańcuchów Markowa o skończonej przestrzeni stanów. [RPraA_11]
 K_W01 [2/5] K_W02 [3/5] K_W03 [3/5] K_W04 [5/5]
Potrafi wskazać reprezentatywne przykłady jednorodnych łańcuchów Markowa oraz sprawdzić, czy dany ciąg zmiennych losowych ma własność Markowa. W wybranych modelach potrafi dokonać klasyfikacji stanów (ze względu na komunikacje między nimi oraz szanse i okresy powrotu do poszczególnych stanów), wskazać klasy zamknięte, zbadać ich nieprzywiedlność oraz wyznaczyć rozkład stacjonarny łańcucha. [RPraA_12]
 K_U01 [3/5] K_U04 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Potrafi użyć formalizmu matematycznego do budowy i analizy modeli probabilistycznych w innych dziedzinach nauk. [RPraA_13]
 K_U01 [3/5] K_U02 [2/5]
Potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne oraz formułować twierdzenia i definicje z zakresu teorii prawdopodobieństwa. [RPraA_14]
 K_U01 [5/5] K_U02 [2/5] K_U13 [2/5]
Forma prowadzonych zajęć Liczba godzin Metody prowadzenia zajęć Sposób weryfikacji efektów uczenia się Efekty uczenia się
wykład [RPraA_fs_1] 30 Wykład informacyjny/kursowy [a01] 
Objaśnienie/wyjaśnienie [a05] 
Wykład konwersatoryjny [b02] 
Metody aktywizujące: dyskusja/debata [b04]  		egzamin RPraA_01 RPraA_04 RPraA_05 RPraA_06 RPraA_07 RPraA_09 RPraA_10 RPraA_11 RPraA_12 RPraA_13 RPraA_14
konwersatorium [RPraA_fs_2] 30 Objaśnienie/wyjaśnienie [a05] 
Metody aktywizujące: dyskusja/debata [b04] 
Praca z podręcznikiem programowym [d02] 
Ćwiczenie laboratoryjne/doświadczenie [e01] 
Indywidualna praca z tekstem [f02]  		zaliczenie RPraA_01 RPraA_02 RPraA_03 RPraA_04 RPraA_05 RPraA_06 RPraA_07 RPraA_08 RPraA_09 RPraA_10 RPraA_11 RPraA_12 RPraA_13 RPraA_14
Praca studenta poza udziałem w zajęciach obejmuje w szczególności:
Nazwa Kategoria Opis
Kwerenda materiałów i przegląd działań niezbędnych do uczestnictwa w zajęciach [a01] Przygotowanie do zajęć
przegląd literatury, dokumentacji, narzędzi i materiałów oraz specyfiki i zakresu działań wskazanych w sylabusie jako wymagane do pełnego uczestnictwa w zajęciach
Czytanie literatury / analiza materiałów źródłowych [a02] Przygotowanie do zajęć
czytanie literatury wskazanej w sylabusie; przegląd, porządkowanie, analiza i wybór materiałów źródłowych do wykorzystania w ramach zajęć
Ćwiczenie praktycznych umiejętności [a03] Przygotowanie do zajęć
czynności polegające na powtarzaniu, doskonaleniu i utrwalaniu praktycznych umiejętności, w tym ćwiczonych podczas odbytych wcześniej zajęć lub nowych, niezbędnych z punktu widzenia realizacji kolejnych elementów programu (jako przygotowanie się uczestnictwa w zajęciach)
Konsultowanie materiałów uzupełniających [względem wskazanych w sylabusie] [a04] Przygotowanie do zajęć
uzgadnianie dodatkowych do wskazanych w sylabusie materiałów, służących realizacji zadań wynikających z uczestnictwa w zajęciach lub na potrzeby przygotowania się do nich
Zapoznanie się z zapisami sylabusa [b01] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
przeglądanie zawartości sylabusa i zapoznanie się z treścią jego zapisów
Weryfikacja/dostosowanie/dyskutowanie zapisów w sylabusie [b02] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
konsultowanie treści sylabusa z potencjalną weryfikacją zapisów wymagających spełnienia specjalnych warunków uczestnictwa w zajęciach, np. wymagań technicznych, czasowych, przestrzennych, innych, w tym warunków uczestnictwa w zajęciach poza murami uczelni, zajęć organizowanych w blokach, organizowanych online, itp.; konsultowanie z potencjalnym udziałem opiekuna roku lub członkami grupy zajęciowej
Ustalanie etapów realizacji zadań przyczyniających się do weryfikacji efektów uczenia się [c01] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
przygotowanie strategii realizacji zadania uwzględniającej podział treści, czynności i ich zakres, czas realizacji oraz/lub sposób pozyskania niezbędnych do jego wykonania materiałów i narzędzi, itp.
Studiowanie wykorzystanej literatury oraz wytworzonych w ramach zajęć materiałów [c02] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
wgłębianie się, dociekanie, rozważanie, przyswajanie, interpretacja lub porządkowanie wiedzy pochodzącej z literatury, dokumentacji, instrukcji, scenariuszy, itd., wykorzystanych na zajęciach oraz z notatek lub innych materiałów/wytworów sporządzonych w ich trakcie
Analiza korekt/informacji zwrotnej ze strony NA dotyczących wyników wer. ef. ucz. [d01] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd uwag, ocen i opinii sporządzonych przez NA odnoszących się do realizacji zadania sprawdzającego poziom osiągniętych efektów uczenia się
Opracowanie planu korekty i zadań uzupełniających/korygujących [d02] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd i wybór zadań oraz czynności pozwalających na eliminację wskazanych przez NA błędów, ich weryfikację lub poprawę oraz zaliczenie zadania na, co najmniej, najniższym dopuszczalnym poziomie
Załączniki
Opis modułu (PDF)
Informacje o sylabusach mogą ulec zmianie w trakcie trwania studiów.
Sylabusy (USOSweb)
Semestr Moduł Język wykładowy
(brak danych)