Analiza matematyczna cz.II Field of study: Physics
Programme code: 03-S1FZ12.2019

Module name: Analiza matematyczna cz.II
Module code: 0305-1F-15-11.2
Programme code: 03-S1FZ12.2019
Semester:
  • winter semester 2023/2024
  • winter semester 2022/2023
  • winter semester 2021/2022
  • winter semester 2020/2021
Language of instruction: Polish
Form of verification: exam
ECTS credits: 6
Description:
Wykład w semestrze 3 obejmuje następujące zagadnienia: Szeregi w przestrzeniach Banacha. Warunek konieczny zbieżności i warunki równoważne zbieżności w przestrzeniach Banacha. Kryteria zbieżności. Szeregi harmoniczne. Zbieżność bezwzględna. Twierdzenie o iloczynie Cauchy’ego szeregów. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa i jednostajna. Różniczkowanie i całkowanie szeregów ”wyraz po wyrazie”. Szeregi potęgowe. Twierdzenie Hadamarda-Cauchy’ego. Szeregi Taylora. Definicje funkcji trygonometrycznych zmiennej zespolonej i funkcji wykładniczej. Wzory Eulera. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zespolonej. Pochodna funkcji zespolonej o wartościach zespolonych. Równania Cauchy’ego-Riemanna. Warunki wystarczające istnienia pochodnej zespolonej. Całka krzywoliniowa z funkcji zespolonej. Twierdzenie całkowe i wzór całkowy Cauchy’ego. Rozwijanie funkcji analitycznych w szereg Taylora. Nierówności Cauchy’ego. Twierdzenie o równości funkcji analitycznych. Twierdzenie Liouville’a. Szeregi Laurenta. Zasada maksimum i analogon dla funkcji harmonicznych. Wzór całkowy Poissona. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania. Zasada argumentu. Informacje o transformatach Fouriera i odwrotnych transformatach Fouriera. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera. Wzory Eulera-Fouriera. Kryteria zbieżności szeregu Fouriera do wartości funkcji. Przestrzenie liniowe z iloczynem skalarnym. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o rzucie ortogonalnym i twierdzenie Riesza o postaci ciągłego funkcjonału liniowego. Norma w przestrzeni operatorów liniowych ograniczonych. Twierdzenie von-Neumanna. Twierdzenia Shmidta i Riesza-Fischera. Lemat i nierówność Bessela. Bazy ortogonalne w przestrzeniach Hilberta - warunki równoważne. Szeregi Fouriera w przestrzeniach Hilberta. Przestrzenie l2(T) i ich uniwersalność w przestrzeniach Hilberta. Na konwersatoriach studenci: Poznają różnice i zbieżności w sumowaniu nieskończonej ilości składników w stosunku do sumowania skończonej ilości składników. Wykorzystują znajomość postaci reszty w rozwinięciach taylorowskich do szacowania błędów. Poznają metody całkowania funkcji zespolonych. Wykorzystują twierdzenia Cauchy’ego do obliczania całek. Uczą się rozwijać funkcje w szeregi Fouriera. Poznają elementarne własności teorii przestrzeni Hilberta i ich bliskie związki z przestrzeniami Rn . W ramach pracy własnej: W oparciu o materiał prezentowany na wykładach, konwersatoriach i w oparciu o literaturę zalecaną utrwala wiedzę. Doskonali sprawność rachunkową i stosuję ją do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Poznaje bogactwo literatury przedmiotu i stara się poszerzać zdobyte umiejętności.
Prerequisites:
Ugruntowana znajomość elementów analizy matematycznej na poziomie wykładanego w Semestrach 1 i 2 przedmiotów „Wstęp do analizy” I „Analiza matematyczna cz. 1”.
Key reading:
(no information given)
Learning outcome of the module Codes of the learning outcomes of the programme to which the learning outcome of the module is related [level of competence: scale 1-5]
Umie rozwijać funkcje w szereg potęgowe i Fouriera i wykorzystać je do obliczania przybliżonych wartości. [1F_11.2_1]
 KF_W02 [4/5] KF_W10 [4/5] KF_U02 [4/5]
Potrafi obliczać całki z funkcji zespolonych i rozumie znaczenie twierdzeń Cauchy’ego. [1F_11.2_2]
 KF_W02 [5/5] KF_W10 [5/5] KF_U02 [5/5]
Ma podstawowe wiadomości z zakresu teorii przestrzeni Hilberta (twierdzenia Riesza, Schmidta, Riesza- Fishera, nierówność Bessela, bazy ortogonalne). [1F_11.2_3]
 KF_W02 [4/5] KF_W10 [4/5] KF_U02 [4/5]
Umie pracować w grupie przyjmują w niej różne role [1F_11.2_4]
 KF_U14 [5/5] KF_K01 [5/5] KF_K02 [5/5] KF_K03 [5/5] KF_K04 [5/5] KF_K05 [5/5] KF_K07 [5/5]
Type Description Codes of the learning outcomes of the module to which assessment is related
kolokwium [1F_11.2_w_1]
Dwa kolokwia w semestrze 3 zapowiedziane tydzień wcześniej. Zadania na poziomie rozwiązywanych na konwersatorium ze skalą ocen 2-5 Ocena końcowa jest średnią ocen z odpowiedzi ustnej oraz kolokwiów. Skala ocen 2-5.
1F_11.2_1 1F_11.2_2 1F_11.2_3 1F_11.2_4
aktywność [1F_11.2_w_2]
Grupowe i indywidualne rozwiązywanie zadań. Odpowiedzi ustne. Udział w konwersatoryjnych dyskusjach. Skala ocen 2-5. Ocena końcowa jest średnią ocen z odpowiedzi ustnej oraz kolokwiów. Skala ocen 2-5.
1F_11.2_1 1F_11.2_2 1F_11.2_3 1F_11.2_4
egzamin pisemny [1F_11.2_w_3]
Warunkiem przystąpienia do egzaminu pisemnego jest zaliczenie konwersatorium. Zakres egzaminu pisemnego pokrywa się z materiałem przerabianym podczas konwersatoriów. Skala ocen 2-5.
 1F_11.2_1 1F_11.2_2 1F_11.2_3 1F_11.2_4
egzamin ustny [1F_11.2_w_4]
Zakres egzaminu ustnego pokrywa się z materiałem wyłożonym podczas wykładów. Przy ocenie bierze się pod uwagę ocenę z egzaminu pisemnego z wagą ½. Skala ocen 2-5.
 1F_11.2_2 1F_11.2_3
Form of teaching Student's own work Assessment of the learning outcomes
Type Description (including teaching methods) Number of hours Description Number of hours
lecture [1F_11.2_fs_1]
Wykład z dużą liczbę przykładów i komentarzy ułatwiających zrozumienie materiału. Prezentacja niektórych dowodów twierdzeń i wniosków jako koniecznych elementów naukowego uzasadniania.
 45
Praca z podręcznikiem jako ważny element samodzielnego kształcenia
30 egzamin pisemny [1F_11.2_w_3] egzamin ustny [1F_11.2_w_4]
discussion classes [1F_11.2_fs_2]
Rozwiązywanie zadań i dyskusja stosowanych metod. Formułowanie wniosków uzupełniających treści prezentowanych na wykładzie i przeprowadzanie prostych dowodów.
 45
Przyswajanie wiedzy przy wykorzystaniu zbiorów zadań i analizowanie zawartych tam przykładów
 30 kolokwium [1F_11.2_w_1] aktywność [1F_11.2_w_2] egzamin pisemny [1F_11.2_w_3]
Attachments
Module description (PDF)
Information concerning module syllabuses might be changed during studies.
Syllabuses (USOSweb)
Semester Module Language of instruction
(no information given)