Analiza matematyczna z elementami algebry Kierunek studiów: Informatyka
Kod programu: 08-S1INI12.2018

Nazwa modułu: Analiza matematyczna z elementami algebry
Kod modułu: 08-IO1S-13-AMZEA
Kod programu: 08-S1INI12.2018
Semestr: semestr zimowy 2018/2019
Język wykładowy: polski
Forma zaliczenia: egzamin
Punkty ECTS: 5
Opis:
Moduł ten ma na celu zapoznanie studentów z pojęciem granicy, podstawami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej, elementami teorii równań różniczkowych zwyczajnych (wraz ze wskazaniem ich zastosowań w naukach technicznych i przyrodniczych), jak również z wybranymi zagadnieniami algebry – takimi jak ciało liczb zespolonych, teoria macierzy oraz oparte o nią metody rozwiązywanie układów równań liniowych. W ramach modułu przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Funkcje i ich własności: dziedzina i zbiór wartości, surjektywność, różnowartościowość, monotoniczność, okresowość, parzystość i nieparzystość, , miejsca zerowe, składanie i odwracanie funkcji, funkcje elementarne. 2. Ciągi liczbowe: pojęcie granicy ciągu i jej własności, twierdzenie o trzech ciągach, związek między monotonicznością, ograniczonością i zbieżnością ciągu, twierdzenie o zbieżności do liczby Eulera. 3. Szeregi liczbowe: pojęcie zbieżności i sumy szeregu, warunek konieczny zbieżności, szeregi geometryczne i harmoniczne, wybrane kryteria zbieżności szeregów: kondensacyjne (o zagęszczeniu), Cauchy’ego, d’Alamberta, porównawcze i Leibniza. 4. Granica funkcji: pojęcie granicy funkcji w punkcie oraz w nieskończoności, twierdzenie o trzech funkcjach, granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych, granice związane z liczbą Eulera, granice jednostronne i ich związek z istnieniem granicy. 5. Ciągłość funkcji: pojęcie ciągłości funkcji, twierdzenia o zachowaniu ciągłości przy dokonywaniu pewnych operacji na funkcjach, związek między ciągłością i monotonicznością funkcji określonej na przedziale, twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów, własność Darboux. 6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: pojęcie pochodnej funkcji oraz jej interpretacja geometryczna i fizyczna, związek między różniczkowalnością i ciągłością funkcji, twierdzenie o różniczkowaniu funkcji odwrotnej, pochodne funkcji elementarnych, twierdzenie o pochodnej sumy, iloczynu, ilorazu oraz złożenia funkcji, twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej, wybrane zastosowania rachunku różniczkowego: badanie przebiegu zmienności funkcji (ekstrema lokalne, monotoniczność, punkty przegięcia i asymptoty), reguła de l’ Hospitala, twierdzenie Taylora. 7. Całka nieoznaczona: pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej, całki podstawowe, twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawianie, metody całkowania funkcji wymiernych (rozkład na ułamki proste). 8. Całka oznaczona: definicja całki Riemanna na przedziale zwartym i jej podstawowe własności, twierdzenia o całkowalności funkcji monotonicznych i ciągłych, wzór Newtona-Leibniza, twierdzenia o całkowaniu przez części i przez podstawianie dla całki oznaczonej, całki niewłaściwe, wybrane zastosowania geometryczne całki Riemanna: obliczanie pól figur płaskich, długości krzywych i objętości brył obrotowych. 9. Liczby zespolone: konstrukcja Hamiltona ciała liczb zespolonych, podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach zespolonych, równania kwadratowe nad ciałem liczb zespolonych, moduł i sprzężenie liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej, twierdzenie o potęgowaniu (Moivre’a) i pierwiastkowaniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, zasadnicze twierdzenie algebry. 10. Teoria macierzy: typy macierzy kwadratowych, dodawanie, mnożenie i transpozycja macierzy, definicja wyznacznika i rzędu macierzy oraz metody ich obliczania, odwracalność macierzy i metody znajdowania macierzy odwrotnej, wektory i wartości własne, przykłady przekształceń afinicznych (w postaci macierzowej) i ich składanie. 11. Układy równań liniowych: zapis macierzowy, klasyfikacja układów równań liniowych ze względu na liczbę rozwiązań, twierdzenie Kroneckera – Capellego, metody rozwiązywania układów równań liniowych: eliminacja Gaussa i twierdzenie Cramera (metoda minorów bazowych), struktura i wymiar przestrzeni rozwiązań. 12. Równania różniczkowe zwyczajne: równanie o rozdzielonych zmiennych i wybrane równania do niego sprowadzalne, równania liniowe o stałych współczynnikach, wybrane zastosowania równań różniczkowych (rozpad promieniotwórczy, natężenie prądu elektrycznego w obwodzie z rezystorem, ruch harmoniczny, wahadło, dynamika populacyjna).
Wymagania wstępne:
(brak informacji)
Literatura podstawowa:
(brak informacji)
Efekt modułowy Kody efektów kierunkowych do których odnosi się efekt modułowy [stopień realizacji: skala 1-5]
Wykazuję się kreatywnością oraz umiejętnością rozwiązywania problemów i zadań w zespole. [AMZEA_K_17]
 K_1_A_I_K03 [1/5]
Rozumie potrzebę integrowania wiedzy oraz samokształcenia służącego pogłębianiu zdobytej wiedzy. [AMZEA_K_18]
 K_1_A_I_K04 [1/5]
Potrafi obliczać granice ciągów liczbowych, badać zbieżność szeregów liczbowych, wyznaczać granice funkcji jednej zmiennej oraz sprawdzać ciągłość funkcji. [AMZEA_U_10]
 K_1_A_I_U08 [1/5]
Potrafi obliczać pochodne funkcji, przeprowadzać badanie zmienności funkcji oraz rozwiązywać wybrane problemy optymalizacyjne. [AMZEA_U_11]
 K_1_A_I_U07 [1/5] K_1_A_I_U08 [1/5]
Potrafi całkować niektóre funkcje, stosując wzory na całkowanie przez części i przez podstawianie oraz stosować całkę oznaczoną do wyznaczania pól figur płaskich, długości krzywych i objętości brył obrotowych. [AMZEA_U_12]
 K_1_A_I_U07 [1/5] K_1_A_I_U08 [1/5]
Potrafi stosować rachunek różniczkowy w zagadnieniach praktycznych, a w szczególności rozwiązywać równania różniczkowe: o rozdzielonych zmiennych oraz liniowe o stałych współczynnikach. [AMZEA_U_13]
 K_1_A_I_U08 [1/5]
Potrafi wykonywać działania arytmetyczne w ciele liczb zespolonych [AMZEA_U_14]
 K_1_A_I_U07 [1/5]
Potrafi wykonywać podstawowe działania na macierzach oraz obliczać ich wyznaczniki, odwrotności, rzędy i wartości własne. [AMZEA_U_15]
 K_1_A_I_U07 [1/5]
Potrafi rozwiązywać układy równań liniowych stosując eliminację Gaussa, twierdzenie Cramera lub związaną z nim metodę minorów bazowych. [AMZEA_U_16]
 K_1_A_I_U07 [1/5]
Potrafi posługiwać się pojęciem funkcji do opisu różnych zjawisk, szkicować wykresy funkcji elementarnych oraz odczytywać z wykresu funkcji ich podstawowe własności. [AMZEA_U_9]
 K_1_A_I_U07 [1/5] K_1_A_I_U08 [1/5]
Zna pojęcie granicy w kontekście ciągów, funkcji rzeczywistych i szeregów liczbowych oraz podstawowe twierdzenia związane z tymi zagadnieniami. [AMZEA_W_1]
 K_1_A_I_W01 [1/5] K_1_A_I_W03 [1/5]
Zna pojęcie pochodnej funkcji, jej interpretację geometryczną oraz podstawowe twierdzenia z zakresu rachunku różniczkowego; m.in. twierdzenie Lagrange’a, de l’Hospitala oraz Taylora, jak również wynikające z nich wnioski. [AMZEA_W_2]
 K_1_A_I_W01 [1/5]
Zna pojęcie całki nieoznaczonej i oznaczonej (w tym niewłaściwej) oraz podstawowe twierdzenia z zakresu rachunku całkowego. [AMZEA_W_3]
 K_1_A_I_W01 [1/5]
Zna interpretację fizyczną pochodnej oraz całki oznaczonej. Dysponuje wiedzą o zastosowaniach rachunku różniczkowego i całkowego do obliczania niektórych wielkości fizycznych. [AMZEA_W_4]
 K_1_A_I_W01 [1/5] K_1_A_I_W05 [1/5]
Ma wiedzę na temat podstawowych zastosowaniań równań różniczkowych zwyczajnych w naukach inżynieryjno-technicznych oraz przyrodniczych. [AMZEA_W_5]
 K_1_A_I_W03 [1/5] K_1_A_I_W05 [1/5]
Ma podstawową wiedzę na temat konstrukcji tablic matematycznych. [AMZEA_W_6]
 K_1_A_I_W01 [1/5] K_1_A_I_W03 [1/5]
Zna konstrukcja Hamiltona ciała liczb zespolonych, twierdzenia o potęgowaniu (Moivre’a ) i pierwiastkowaniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej oraz zasadnicze twierdzenie algebry. [AMZEA_W_7]
 K_1_A_I_W01 [1/5] K_1_A_I_W03 [1/5]
Zna pojęcie wyznacznika i rzędu macierzy oraz ich związek z istnieniem rozwiązań układu równań liniowych (wyrażony w twierdzeniu Kroneckera-Capellego). Zna podstawowe metody rozwiązywania układów równań linowych (eliminacja Gaussa i twierdzenie Cramera). [AMZEA_W_8]
 K_1_A_I_W01 [1/5] K_1_A_I_W04 [1/5]
Typ Opis Kody efektów modułowych do których odnosi się sposób weryfikacji
Egzamin [AMZEA_w_1]
Egzamin pisemny. Weryfikacja wiedzy oraz umiejętności na podstawie udzielonych odpowiedzi na pytania teoretyczne i rozwiązań zadań obejmujących zakresem zagadnienia przedstawione na wykładzie.
 AMZEA_U_10 AMZEA_U_11 AMZEA_U_12 AMZEA_U_13 AMZEA_U_14 AMZEA_U_15 AMZEA_U_16 AMZEA_U_9 AMZEA_W_1 AMZEA_W_2 AMZEA_W_3 AMZEA_W_4 AMZEA_W_5 AMZEA_W_6 AMZEA_W_7 AMZEA_W_8
Kolokwium [AMZEA_w_2]
Weryfikacja nabytych umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań wymagających znajomości danego zakresu materiału.
 AMZEA_U_10 AMZEA_U_11 AMZEA_U_12 AMZEA_U_13 AMZEA_U_14 AMZEA_U_15 AMZEA_U_16 AMZEA_U_9
Zadania kontrolne [AMZEA_w_3]
Weryfikacja znajomości wykładów i nabytych umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań obejmujących aktualnie realizowaną część materiału.
 AMZEA_K_17 AMZEA_K_18 AMZEA_U_10 AMZEA_U_11 AMZEA_U_12 AMZEA_U_13 AMZEA_U_14 AMZEA_U_15 AMZEA_U_16 AMZEA_U_9
Rodzaj prowadzonych zajęć Praca własna studenta Sposoby weryfikacji
Typ Opis (z uwzględnieniem metod dydaktycznych) Liczba godzin Opis Liczba godzin
wykład [AMZEA_fs_1]
Podanie pojęć i faktów z zakresu treści programowych wymienionych w opisie modułu oraz ich ilustracja przy pomocy licznych przykładów. Wykład prowadzony jest w formie werbalnej z wykorzystaniem klasycznej tablicy.
 30
Samodzielne studiowanie wykładów oraz wskazanej w sylabusie literatury. Przygotowanie się do egzaminu.
 30 Egzamin [AMZEA_w_1]
ćwiczenia [AMZEA_fs_2]
Rozwiązywanie zadań kształtujących umiejętności wymienione w zestawie efektów kształcenia modułu.
 30
Rozwiązywanie zadań kontrolnych, przygotowywanie się czynnego udziału w ćwiczeniach oraz do sprawdzianów pisemnych.
 40 Kolokwium [AMZEA_w_2] Zadania kontrolne [AMZEA_w_3]
Załączniki
Opis modułu (PDF)
Informacje o sylabusach mogą ulec zmianie w trakcie trwania studiów.
Sylabusy (USOSweb)
Semestr Moduł Język wykładowy
(brak danych)