Analiza matematyczna cz.I Kierunek studiów: Fizyka
Kod programu: 03-S1FZ12.2017

Wykład w semestrze 2 obejmuje następujące zagadnienia: Całka oznaczona (Riemanna) rzeczywistych funkcji jednej zmiennej. Charakteryzacja funkcji całkowalnych w sensie Riemanna. Twierdzenie Newtona-Leibniza. Całki niewłaściwe. Całka funkcji wielu zmiennych po obszarach normalnych. Twierdzenia o zmianie zmiennych. Zastosowania całek do obliczania wielkości geometrycznych i fizycznych. Ogólna definicja miary, miary zewnętrznej. Twierdzenie Caratheodory’ego. Funkcje mierzalne. Ogólna definicja całki. Miara i całka Lebesgue’a na prostej i w wyższych wymiarach. Twierdzenia o przejściach granicznych pod znak całki. Twierdzenie Fubiniego. Całki krzywoliniowe na płaszczyźnie i w przestrzeni. Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Twierdzenia Greena, I-szy i II-gi wzór Greena. Pojęcia całek powierzchniowych niezorientowanych i zorientowanych. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego i Stokes’a (w najprostszym przypadku). Elementy teorii pól wektorowych i pojęcia fizyczne z nimi związane. Twierdzenia o całkach krzywoliniowych i powierzchniowych w języku tych pojęć. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Ogólna teoria równania liniowego pierwszego rzędu. Twierdzenie Picarda i Peany. Równania liniowe wyższych rzędów. Układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu. Układy jednorodne. Macierz Wrońskiego takiego układu. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań układu niejednorodnego równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu. Te same zagadnienia dotyczące równań wyższych rzędów. Metody rozwiązywania niektórych typów równań i układów równań a w szczególności metody uzmienniania stałych i przewidywań dla równań (i układów równań) liniowych o stałych współczynnikach dowolnego rzędu. Na konwersatoriach studenci: Uczą się sprawnego stosowania technik obliczeniowych dla wyznaczania całek oznaczonych wykorzystując je do obliczania różnych wielkości geometrycznych i fizycznych. Poznają sposoby konstruowania miar, a przy ich pomocy całek ogólniejszych od całki Riemanna. Wykorzystują teorię całek krzywoliniowych i powierzchniowych w teorii pól wektorowych np. do obliczania dywergencji czy rotacji. Poznają metody rozwiązywania niektórych typów równań różniczkowych. Poznają różnice i zbieżności w sumowaniu nieskończonej ilości składników w stosunku do sumowania skończonej ilości składników. Wykorzystują znajomość postaci reszty w rozwinięciach taylorowskich do szacowania błędów. Poznają metody całkowania funkcji zespolonych. Wykorzystują twierdzenia Cauchy’ego do obliczania całek. Uczą się rozwijać funkcje w szeregi Fouriera. Poznają elementarne własności teorii przestrzeni Hilberta i ich bliskie związki z przestrzeniami Rn . W ramach pracy własnej: W oparciu o materiał prezentowany na wykładach, konwersatoriach i w oparciu o literaturę zalecaną utrwala wiedzę. Doskonali sprawność rachunkową i stosuję ją do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Poznaje bogactwo literatury przedmiotu i stara się poszerzać zdobyte umiejętności.

Ugruntowana znajomość elementów analizy matematycznej na poziomie wykładanego w Semestrze1 przedmiotu „Wstęp do analizy”

(brak informacji)