Rachunek prawdopodobieństwa Field of study: Econophysics
Programme code: 03-S1EFZ12.2014

1) Wprowadzenie do pojęć probabilistyki: a) zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń, algebra zdarzeń, sigma-algebra zdarzeń, przestrzeń probabilistyczna. Podstawy aksjomatycznej teorii prawdopodobieństwa i wnioski; b) podstawowe operacje i wzory kombinatoryki ; c) typy miar probabilistycznych; d) prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, twierdzenie Bayesa, zdarzenia niezależne i zależne, postulaty Kołmogorowa dla prawdopodobieństwa warunkowego; e) iloczyn kartezjański przestrzeni zdarzeń - losowania niezależne, rozkład dwumianowy – losowania Bernoulliego. 2) Formalne podstawy teorii rozkładów prawdopodobieństwa wektora losowego (zmiennej losowej): a) miara, sigma-algebra zbiorów borelowskich, funkcja mierzalna, przestrzeń mierzalna w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, definicja wektora losowego i zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa dla wektora losowego; b) dystrybuanta łączna wektora losowego, przypadek dyskretny i ciągły, gęstość rozkładu wielowymiarowego; c) niezależność zmiennych losowych; d) parametry statystyczne dla jednej i wielu zmiennych (dla przypadku dyskretnego i ciagłego): momenty rzędu l,m zwykłe i centralne. 3) Przykłady zmiennych losowych: a) dyskretne rozkłady zmiennych losowych: rozkład zero-jedynkowy, dwumianowy Bernoulliego, Poissona, hipergeometryczny, rozkład wielomianowy; b) ciągłe rozkłady zmiennych losowych: rozkład wykładniczy, rozkład normalny (Gaussa-Laplace’a), podstawowe własności rozkładu normalnego. 4) Współzależność dwóch zmiennych: a) kowariancja i współczynnik korelacji, przypadek funkcyjnej zależności liniowej; b) macierz kowariancji; c) rozkłady brzegowe i rozkłady warunkowe oraz ich parametry; c) analiza dwuwymiarowego rozkładu Cauchy'ego; d) podstawowe własności wielowymiarowego rozkładu normalnego. 5) Zamiana zmiennych: a) suma i różnica zmiennych losowych, splot rozkładów, b) transformacje liniowe, prawo propagacji błędów. 6) Funkcje charakterystyczne: a) własności, twierdzenie Bochnera; b) związek z momentami rozkładów; c) zastosowanie dla rozkładu zero-jedynkowego, Bernoulliego, Poissona, jednostajnego i normalnego; d) zastosowanie dla rozkładu normalnego, addytywność rozkładu normalnego. 7) Twierdzenia graniczne: a) częstość a prawo wielkich liczb, zbieżność stochastyczna, prawa wielkich liczb, twierdzenie Bernouliego, nierówność Czebyszewa, prawo wielkich liczb Czebyszewa i wnioski; b) twierdzenie Levy'ego-Cramera, twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a i wnioski, centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy’ego i wnioski; c) rozkład Poissona (c.d), błąd przybliżenia rozkładu Bernoulliego rozkładem Poissona; d) granica normalna rozkłady Poissona; e) rodzaje zbieżności zmiennych losowych i silniejsze typy zbieżności. Egzamin obowiązkowy.

brak

(no information given)