Analiza matematyczna II Kierunek studiów: Matematyka
Kod programu: W4-S1MT19.2025

Nazwa modułu: Analiza matematyczna II
Kod modułu: W4-MT-S1-25-AMa2
Kod programu: W4-S1MT19.2025
Semestr: semestr zimowy 2026/2027
Język wykładowy: polski
Forma zaliczenia: egzamin
Punkty ECTS: 10
Cel i opis treści kształcenia:
Celem modułu Analiza matematyczna II jest zapoznanie studentów z elementami teorii miary, teorią całki Lebesgue’a oraz klasycznym wprowadzeniem do form różniczkowych. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Wprowadzenie do teorii miary: Pojęcie przeliczalnie addytywnego ciała zbiorów. Definicja miary i jej podstawowe własności. Twierdzenia o mierze sumy wstępującego i iloczynie zstępującego ciągu zbiorów mierzalnych. Pojęcie miary zewnętrznej. Twierdzenie Carathéodory’ego. 2. Miara Lebesgue’a: Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Mierzalność zbiorów borelowskich. Twierdzenie o charakteryzacji zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Przykład Vitaliego. 3. Teoria całki Lebesgue'a: Funkcje mierzalne. Funkcje proste. Trzy etapy definicji całki. Całka Lebesgue’a. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. 4. Klasyczne wprowadzenie do form różniczkowych: Krzywe regularne w przestrzeni ℝ^3 i ich parametryzacje. Orientacja krzywej, wektor styczny do krzywej. Pojęcia całek krzywoliniowych nieskierowanych, skierowanych i związki między nimi. Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Twierdzenie Greena i wzory Greena. Powierzchnie regularne i ich parametryzacje. Wektor normalny do powierzchni, orientacja powierzchni. Całki powierzchniowe niezorientowane, zorientowane i związki między nimi. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Twierdzenie Stokesa.
Lista modułów koniecznych do zaliczenia przed przystąpieniem do tego modułu (o ile to konieczne): nie dotyczy
Efekt modułowy Kody efektów kierunkowych do których odnosi się efekt modułowy [stopień realizacji: skala 1-5]
zna fundamentalne pojęcia ogólnej teorii miary [AMa2_1]
 K_W02 [2/5] K_W04 [2/5]
zna idee konstruowania miary Lebesgue’a [AMa2_2]
 K_W02 [2/5] K_W04 [2/5]
potrafi stosować twierdzenia Tonellego i Fubiniego oraz twierdzenie o zmianie zmiennych [AMa2_3]
 K_U01 [2/5] K_U03 [2/5] K_U14 [2/5]
rozumie potrzebę stosowania całek krzywoliniowych i powierzchniowych i zna związki między nimi [AMa2_4]
 K_W01 [1/5] K_W04 [1/5]
potrafi obliczać całki krzywoliniowe i powierzchniowe [AMa2_5]
 K_U01 [1/5] K_U03 [1/5] K_U14 [1/5]
potrafi obliczać miarę Lebesgue’a nieskomplikowanych zbiorów, a także badać mierzalność i obliczać całki Lebesgue’a niezłożonych funkcji [AMat2_6]
 K_U01 [3/5] K_U03 [2/5]
Forma prowadzonych zajęć Liczba godzin Metody prowadzenia zajęć Sposób weryfikacji efektów uczenia się Efekty uczenia się
wykład [AMa2_fs_1] 60 Wykład informacyjny/kursowy [a01]  egzamin AMa2_1 AMa2_2 AMa2_3 AMa2_4 AMa2_5 AMat2_6
konwersatorium [AMa2_fs_2] 60 Metody aktywizujące: peer learning [b08] 
Praca z podręcznikiem programowym [d02] 
Rekonstrukcja/odtworzenie [d04] 
Ćwiczenie laboratoryjne/doświadczenie [e01]  		zaliczenie AMa2_1 AMa2_2 AMa2_3 AMa2_4 AMa2_5 AMat2_6
Praca studenta poza udziałem w zajęciach obejmuje w szczególności:
Nazwa Kategoria Opis
Ćwiczenie praktycznych umiejętności [a03] Przygotowanie do zajęć
czynności polegające na powtarzaniu, doskonaleniu i utrwalaniu praktycznych umiejętności, w tym ćwiczonych podczas odbytych wcześniej zajęć lub nowych, niezbędnych z punktu widzenia realizacji kolejnych elementów programu (jako przygotowanie się uczestnictwa w zajęciach)
Zapoznanie się z zapisami sylabusa [b01] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
przeglądanie zawartości sylabusa i zapoznanie się z treścią jego zapisów
Ustalanie etapów realizacji zadań przyczyniających się do weryfikacji efektów uczenia się [c01] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
przygotowanie strategii realizacji zadania uwzględniającej podział treści, czynności i ich zakres, czas realizacji oraz/lub sposób pozyskania niezbędnych do jego wykonania materiałów i narzędzi, itp.
Studiowanie wykorzystanej literatury oraz wytworzonych w ramach zajęć materiałów [c02] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
wgłębianie się, dociekanie, rozważanie, przyswajanie, interpretacja lub porządkowanie wiedzy pochodzącej z literatury, dokumentacji, instrukcji, scenariuszy, itd., wykorzystanych na zajęciach oraz z notatek lub innych materiałów/wytworów sporządzonych w ich trakcie
Analiza korekt/informacji zwrotnej ze strony NA dotyczących wyników wer. ef. ucz. [d01] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd uwag, ocen i opinii sporządzonych przez NA odnoszących się do realizacji zadania sprawdzającego poziom osiągniętych efektów uczenia się
Opracowanie planu korekty i zadań uzupełniających/korygujących [d02] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd i wybór zadań oraz czynności pozwalających na eliminację wskazanych przez NA błędów, ich weryfikację lub poprawę oraz zaliczenie zadania na, co najmniej, najniższym dopuszczalnym poziomie
Załączniki
Opis modułu (PDF)
Informacje o sylabusach mogą ulec zmianie w trakcie trwania studiów.
Sylabusy (USOSweb)
Semestr Moduł Język wykładowy
(brak danych)