Mathematical Analysis 2a Field of study: Mathematics
Programme code: 03-S1MT12.2014

Module name: Mathematical Analysis 2a
Module code: 03-MO1S-13-AMa2A
Programme code: 03-S1MT12.2014
Semester: winter semester 2015/2016
Language of instruction: Polish
Form of verification: exam
ECTS credits: 10
Description:
Celem modułu Analiza matematyczna 2a (kod AMa2A) jest zapoznanie studentów z elementarną teorią miary, teorią całek krzywoliniowych i powierzchniowych, a także z elementami teorii różniczkowania odwzorowań w przestrzeniach Banacha. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Ogólna teoria miary: Pojęcie przeliczalnie addytywnego ciała zbiorów. Definicja miary i jej podstawowe własnośc.i Twierdzenia o mierze sumy wstępującego i iloczynie zstępującego ciągu zbiorów mierzalnych. Pojęcie miary zewnętrznej. Twierdzenie Caratheodory’go. 2. Miara Lebesgue’a: Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Mierzalność zbiorów borelowskich. Twierdzenie charakteryzacji zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Przykład Vitaliego. 3. Ogólna teoria całki i całka Lebesguea: Funkcje mierzalne względem dowolnego -ciała. Funkcje proste. Trzy etapy definicji całki. Całka Lebesgue’a. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Twierdzenia Tonellego i Fubuniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. 4. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe w R3 : Krzywe regularne w R3 i ich parametryzacje. Orientacja krzywej, wektor styczny do krzywej. Pojęcia całek krzywoliniowych nieskierowanych, skierowanych i związki między nimi. Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Twierdzenie Greena i wzory Greena. Powierzchnie regularne ich parametryzacje. Wektor normalny do powierzchni, orientacja powierzchni. Całki powierzchniowe niezorientowane, zorientowane i związki między nimi. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego i szczególne przypadki twierdzenia Stokes’a. 5. Elementy teorii różniczkowania odwzorowań w przestrzeniach Banacha: Przestrzenie ograniczonych odwzorowań liniowych i wieloliniowych w przestrzeniach unormowanych. Pojęcie różniczki pierwszego i wyższych rzędów.. Twierdzenia o przyrostach i Taylora. Twierdzenie lokalnym dyfeomorfiźmie. Ekstrema lokalne i warunkowe.
Prerequisites:
Analiza matematyczna 1A lub Analiza matematyczna 1B
Key reading:
(no information given)
Learning outcome of the module Codes of the learning outcomes of the programme to which the learning outcome of the module is related [level of competence: scale 1-5]
Zna idee konstruowania miar generycznych, w szczególności miary Lebesgue’a [AMa2A_1]
 K_W04 [2/5]
Potrafi obliczyć miarę Lebesgue’a nieskomplikowanych zbiorów [AMa2A_2]
 K_U13 [2/5]
Zna i umie obliczać całki Lebesgue’a nieskomplikowanych funkcji [AMa2A_3]
 K_U13 [3/5]
Widzi potrzebę zapisywania całek szczególnego typu w postaci tzw. całek krzywoliniowych i powierzchniowych i zna elementarne związki między nimi [AMa2A_4]
 K_U14 [2/5]
Zna podstawowe własności przestrzeni L(X,Y) i Ln(X,Y) [AMa2A_5]
 K_W04 [2/5] K_U17 [2/5]
Rozumie pojęcia różniczki pierwszego i wyższych rzędów [AMa2A_6]
 K_U17 [4/5]
Zna i potrafi zastosować twierdzenia teorii różniczkowania do badania ekstremów lokalnych i związanych [AMa2A_7]
 K_W04 [3/5] K_U12 [3/5]
Type Description Codes of the learning outcomes of the module to which assessment is related
aktywność na zajęciach [AMa2A_w_1]
Weryfikacja na podstawie odpowiedzi na zadawane pytania dotyczące wykładanych treści i znajomości rozwiązań zdań domowych
 AMa2A_2 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_6 AMa2A_7
sprawdziany pisemne na konwersatoriach [AMa2A_w_2]
Weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań sprawdzianów pisemnych
 AMa2A_2 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_6 AMa2A_7
egzamin pisemny [AMa2A_w_3]
Weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań sprawdzianów egzaminacyjnych, weryfikacja zrozumienia pojęć i twierdzeń przez analizę odpowiedzi na teoretyczne pytania egzaminacyjne
 AMa2A_2 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_6 AMa2A_7
egzamin ustny [AMa2A_w_4]
Weryfikacja znajomości i zrozumienia definicji, twierdzeń i ich dowodów prezentowanych na wykładach
 AMa2A_1 AMa2A_5 AMa2A_6 AMa2A_7
Form of teaching Student's own work Assessment of the learning outcomes
Type Description (including teaching methods) Number of hours Description Number of hours
lecture [AMa2A_fs_1]
Wykład klasyczny „przy użyciu kredy i tablicy” wzbogacony przykładami i komentarzami
 60
Studiowanie wykładów I wskazanej literatury
 60 aktywność na zajęciach [AMa2A_w_1] egzamin pisemny [AMa2A_w_3] egzamin ustny [AMa2A_w_4]
discussion classes [AMa2A_fs_2]
Samodzielne rozwiązywanie zadań przy tablicy, rozwiązywanie zadań w małych grupach
 60
Rozwiązywanie zadań
 60 aktywność na zajęciach [AMa2A_w_1] sprawdziany pisemne na konwersatoriach [AMa2A_w_2] egzamin pisemny [AMa2A_w_3]
Attachments
Module description (PDF)
Information concerning module syllabuses might be changed during studies.
Syllabuses (USOSweb)
Semester Module Language of instruction
(no information given)