Warsztaty z rachunku prawdopodobieństwa II Kierunek studiów: Matematyka
Kod programu: W4-S1MT19.2024

Nazwa modułu: Warsztaty z rachunku prawdopodobieństwa II
Kod modułu: W4-MT-S1-24-WzRPr2
Kod programu: W4-S1MT19.2024
Semestr: semestr zimowy 2026/2027
Język wykładowy: polski
Forma zaliczenia: zaliczenie
Punkty ECTS: 1
Cel i opis treści kształcenia:
Przedmiot stanowi kontynuację modułu "Warsztaty z rachunku prawdopodobieństwa I" i ma na celu wsparcie realizacji kursu "Rachunek prawdopodobieństwa A". W założeniu warsztaty winny zapewnić studentom czas do samodzielnego rozwiązywania zadań rachunkowych i problemowych (z pomocą prowadzącego) oraz wspólnej dyskusji nad zagadnieniami teoretycznymi z zakresu probabilistyki, którego często brakuje podczas ćwiczeń / konwersatorium do wykładu kursowego. W ramach zajęć realizowane będą zagadnienia wybrane spośród wyszczególnionych poniżej, w zależności od potrzeb studentów. Przede wszystkim uwzględnione zostaną te, których przyswojenie podczas konwersatorium / ćwiczeń z Rachunku prawdopodobieństwa A okazało się dla studentów problematyczne. 1. Kowariancja, współczynnik korelacji oraz macierz kowariancji wektora losowego. 2. Wielowymiarowy rozkład normalny. 3. Funkcja charakterystyczna rozkładu prawdopodobieństwa. 4. Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych. 5. Prawa wielkich liczb. 6. Centralne twierdzenie graniczne. 7. Warunkowa wartość oczekiwana. 8. Martyngały.
Lista modułów koniecznych do zaliczenia przed przystąpieniem do tego modułu (o ile to konieczne): nie dotyczy
Efekt modułowy Kody efektów kierunkowych do których odnosi się efekt modułowy [stopień realizacji: skala 1-5]
Zna pojęcie kowariancji, współczynnika korelacji liniowej oraz macierzy kowariancji wektora losowego i jej własności. Rozumie różnicę między niezależnością i brakiem korelacji zmiennych losowych. [WaRP_II_01]
 K_W04 [4/5]
Potrafi wyznaczyć macierz kowariancji wektora losowego o zadanym rozkładzie (ciągłym lub dyskretnym) oraz znaleźć macierz kowariancji jego dowolnego przekształcenia liniowego. [WaRP_II_02]
 K_U03 [3/5] K_U04 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie wielowymiarowego rozkładu normalnego oraz postać jego gęstości. Potrafi wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji rozkładu normalnego o zadanej gęstości, jak również gęstość takiego rozkładu na podstawie znajomości tych parametrów. [WaRP_II_03]
 K_W04 [4/5] K_U04 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie funkcji charakterystycznej rozkładu prawdopodobieństwa, jej podstawowe własności oraz najważniejsze fakty z nią związane (jak wzór Levy’ego na odwrócenie, twierdzenie o odwrotnym przekształceniu Fouriera, twierdzenie dot. funkcji charakterystycznej rozkładu dyskretnego i twierdzenie o różniczkowaniu funkcji odwrotnej). Pamięta wzory funkcji charakterystycznych najważniejszych rozkładów. [WaRP_II_04]
 K_W04 [4/5] K_W05 [3/5]
Potrafi wyznaczyć funkcje charakterystyczne wybranych (ciągłych i dyskretnych) rozkładów prawdopodobieństwa oraz gęstości / funkcje masy wybranych rozkładów na podstawie ich funkcji charakterystycznych. Potrafi wykorzystać twierdzenie o różniczkowaniu funkcji charakterystycznej do wyznaczenia momentów wyższego rzędu zmiennej losowej o danym rozkładzie. [WaRP_II_05]
 K_U03 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna definicje różnych rodzajów zbieżności zmiennych losowych oraz implikacje między nimi. Jednocześnie, potrafi wskazać przykłady ilustrujące brak implikacji w określonym kierunku. [WaRP_II_06]
 K_W04 [4/5] K_W05 [5/5]
Zna centralne twierdzenie granicznego Lindeberga-Levy'ego (dla ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) i najważniejsze kryteria gwarantujące spełnienie mocnego i słabego prawa wielkich liczb. Ma właściwe intuicje co do tych twierdzeń i rozumie ich w znacznie w statystyce. [WaRP_II_07]
 K_W01 [2/5] K_W03 [3/5] K_W04 [4/5]
Potrafi stosować centralne twierdzenie graniczne do wyznaczania przybliżonych prawdopodobieństw zdarzeń opisanych przez sumy niezależnych zmiennych losowych. W wybranych przypadkach potrafi wykazać, że dany ciąg zmiennych losowych spełnia mocne / słabe prawo wielkich liczb, bądź udowodnić, że prawo to nie zachodzi. [WaRP_II_08]
 K_U01 [4/5] K_U09 [2/5] K_U11 [5/5]
Zna i rozumie pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej względem σ-ciała (w szczególności generowanego przez wektor losowy) oraz jej własności. W oparciu o to pojęcie, potrafi sformułować uogólnioną definicję prawdopodobieństwa warunkowego i warunkowego rozkładu zmiennej losowej (względem wektora losowego). [WaRP_II_09]
 K_W02 [2/5] K_W04 [4/5] K_U01 [3/5]
Potrafi wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną E[f(X,Y)|Y] dla danego wektora losowego (X,Y) o rozkładzie ciągłym lub dyskretnym, jak również wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej f(X) przy danym rozkładzie warunkowym zmiennej X. [WaRP_II_10]
 K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcia filtracji przestrzeni probabilistycznej, martyngału, podmartyngału oraz nadmartyngału. Rozumie intuicje stojące za tym pojęciami oraz potrafi wskazać ilustrujące je przykłady. [WaRP_II_11]
 K_W04 [4/5] K_W05 [4/5]
Potrafi zbadać, czy (lub dla jakich wartości parametrów) dany ciąg zmiennych losowych jest (pod/nad) martyngałem względem zadanej filtracji. [WaRP_II_12]
 K_U01 [2/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Forma prowadzonych zajęć Liczba godzin Metody prowadzenia zajęć Sposób weryfikacji efektów uczenia się Efekty uczenia się
konwersatorium [WzRPr2_fs_1] 15 Opis [a03] 
Objaśnienie/wyjaśnienie [a05] 
Metody aktywizujące: dyskusja/debata [b04] 
Ćwiczenie laboratoryjne/doświadczenie [e01] 
Indywidualna praca z tekstem [f02]  		zaliczenie WaRP_II_01 WaRP_II_02 WaRP_II_03 WaRP_II_04 WaRP_II_05 WaRP_II_06 WaRP_II_07 WaRP_II_08 WaRP_II_09 WaRP_II_10 WaRP_II_11 WaRP_II_12
Praca studenta poza udziałem w zajęciach obejmuje w szczególności:
Nazwa Kategoria Opis
Kwerenda materiałów i przegląd działań niezbędnych do uczestnictwa w zajęciach [a01] Przygotowanie do zajęć
przegląd literatury, dokumentacji, narzędzi i materiałów oraz specyfiki i zakresu działań wskazanych w sylabusie jako wymagane do pełnego uczestnictwa w zajęciach
Czytanie literatury / analiza materiałów źródłowych [a02] Przygotowanie do zajęć
czytanie literatury wskazanej w sylabusie; przegląd, porządkowanie, analiza i wybór materiałów źródłowych do wykorzystania w ramach zajęć
Ćwiczenie praktycznych umiejętności [a03] Przygotowanie do zajęć
czynności polegające na powtarzaniu, doskonaleniu i utrwalaniu praktycznych umiejętności, w tym ćwiczonych podczas odbytych wcześniej zajęć lub nowych, niezbędnych z punktu widzenia realizacji kolejnych elementów programu (jako przygotowanie się uczestnictwa w zajęciach)
Konsultowanie materiałów uzupełniających [względem wskazanych w sylabusie] [a04] Przygotowanie do zajęć
uzgadnianie dodatkowych do wskazanych w sylabusie materiałów, służących realizacji zadań wynikających z uczestnictwa w zajęciach lub na potrzeby przygotowania się do nich
Wytworzenie/przygotowanie narzędzi, materiałów, dokumentacji niezbędnych do uczestnictwa w zajęciach [a05] Przygotowanie do zajęć
opracowanie, przygotowanie i weryfikacja przydatności narzędzi oraz materiałów (np. pomocy, scenariuszy, narzędzi badawczych, aparatury, itd.) do wykorzystania w ramach zajęć lub służących przygotowaniu się do nich
Zapoznanie się z zapisami sylabusa [b01] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
przeglądanie zawartości sylabusa i zapoznanie się z treścią jego zapisów
Weryfikacja/dostosowanie/dyskutowanie zapisów w sylabusie [b02] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
konsultowanie treści sylabusa z potencjalną weryfikacją zapisów wymagających spełnienia specjalnych warunków uczestnictwa w zajęciach, np. wymagań technicznych, czasowych, przestrzennych, innych, w tym warunków uczestnictwa w zajęciach poza murami uczelni, zajęć organizowanych w blokach, organizowanych online, itp.; konsultowanie z potencjalnym udziałem opiekuna roku lub członkami grupy zajęciowej
Ustalanie etapów realizacji zadań przyczyniających się do weryfikacji efektów uczenia się [c01] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
przygotowanie strategii realizacji zadania uwzględniającej podział treści, czynności i ich zakres, czas realizacji oraz/lub sposób pozyskania niezbędnych do jego wykonania materiałów i narzędzi, itp.
Studiowanie wykorzystanej literatury oraz wytworzonych w ramach zajęć materiałów [c02] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
wgłębianie się, dociekanie, rozważanie, przyswajanie, interpretacja lub porządkowanie wiedzy pochodzącej z literatury, dokumentacji, instrukcji, scenariuszy, itd., wykorzystanych na zajęciach oraz z notatek lub innych materiałów/wytworów sporządzonych w ich trakcie
Analiza korekt/informacji zwrotnej ze strony NA dotyczących wyników wer. ef. ucz. [d01] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd uwag, ocen i opinii sporządzonych przez NA odnoszących się do realizacji zadania sprawdzającego poziom osiągniętych efektów uczenia się
Opracowanie planu korekty i zadań uzupełniających/korygujących [d02] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd i wybór zadań oraz czynności pozwalających na eliminację wskazanych przez NA błędów, ich weryfikację lub poprawę oraz zaliczenie zadania na, co najmniej, najniższym dopuszczalnym poziomie
Załączniki
Opis modułu (PDF)
Informacje o sylabusach mogą ulec zmianie w trakcie trwania studiów.
Sylabusy (USOSweb)
Semestr Moduł Język wykładowy
(brak danych)