Warsztaty z rachunku prawdopodobieństwa I Kierunek studiów: Matematyka
Kod programu: W4-S1MT19.2024

Nazwa modułu: Warsztaty z rachunku prawdopodobieństwa I
Kod modułu: W4-MT-S1-24-WzRPr1
Kod programu: W4-S1MT19.2024
Semestr: semestr letni 2025/2026
Język wykładowy: polski
Forma zaliczenia: zaliczenie
Punkty ECTS: 2
Cel i opis treści kształcenia:
Przedmiot ma na celu uzupełnienie wiadomości z zakresu teorii prawdopodobieństwa wyniesionych ze szkoły średniej oraz wsparcie realizacji modułu "Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa A". W założeniu warsztaty winny zapewnić studentom czas do samodzielnego rozwiązywania zadań rachunkowych i problemowych (z pomocą prowadzącego) oraz wspólnej dyskusji nad zagadnieniami teoretycznymi, którego często brakuje podczas ćwiczeń / konwersatorium do wykładu kursowego. W ramach zajęć realizowane będą tematy wybrane spośród wyszczególnionych poniżej, w zależności od potrzeb studentów. Najwięcej uwagi poświęcone zostanie tym zagadnieniom, których przyswojenie podczas konwersatorium / ćwiczeń ze "Wstępu do rachunku prawdopodobieństwa A" okazało się dla studentów problematyczne. 1. Podstawowe schematy kombinatoryczne (kombinacje, wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń, permutacje). 2. Pojęcie σ-ciała, mierzalności funkcji, miary i całki Lebesgue'a względem dowolnej miary oraz podstawowe fakty z nimi związane. Własności miar probabilistycznych. 3. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne. 4. Prawdopodobieństwo warunkowe oraz twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa. 5. Wzajemna niezależność zdarzeń i rodzin zdarzeń, schemat Bernoulliego, lemat Borela-Cantellego. 6. Zmienne losowe, ich rozkłady prawdopodobieństwa i dystrybuanty. Pojęcie funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego. Przykłady najważniejszych rozkładów. 7. Metody wyznaczania rozkładów borelowskich przekształceń zmiennych losowych. 8. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. Nierówności Markowa, Czebyszewa-Bienayme i Holdera. 9. Wektory losowe, ich rozkłady prawdopodobieństwa i dystrybuanty. Pojęcie funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego (w kontekście wielowymiarowym). 10. Rozkłady brzegowe i metody ich wyznaczania. 11. Niezależność zmiennych losowych oraz jej charakteryzacje w języku dystrybuant, funkcji mas (w przypadku rozkładów dyskretnych) i gęstości (w przypadku rozkładów ciągłych). Nierówność Kołmogorowa. 12. Metody wyznaczania rozkładów borelowskich przekształceń wektorów losowych. W szczególności stosowanie wzorów na gęstość sumy, iloczynu i ilorazu składowych wektora losowego o rozkładzie ciągłym.
Lista modułów koniecznych do zaliczenia przed przystąpieniem do tego modułu (o ile to konieczne): nie dotyczy
Efekt modułowy Kody efektów kierunkowych do których odnosi się efekt modułowy [stopień realizacji: skala 1-5]
Zna podstawowe schematy kombinatoryczne i potrafi je wykorzystać do opisu i rozwiązywania elementarnych problemów w zakresu kombinatoryki (jak np. wyznaczanie ilości sekwencji elementów spełniających zadane warunki). [WaRP_I_1]
 K_U09 [3/5] K_U10 [4/5]
Zna i rozumie pojęcia wektora losowego, jego rozkładu prawdopodobieństwa, dystrybuanty oraz funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego (w kontekście wielowymiarowym), jak również najważniejsze fakty dotyczące własności tych obiektów i związków między nimi. Potrafi wykorzystywać tę wiedzę do budowy i analizy nieskomplikowanych modeli probabilistycznych słownie opisanych doświadczeń losowych. [WaRP_I_10]
 K_W04 [4/5] K_U01 [3/5] K_U03 [3/5] K_U11 [5/5]
Potrafi wyznaczyć dystrybuantę wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa o danej gęstości / funkcji masy i na odwrót, jak również gęstość / funkcję masy borelowskiego przekształcenia wektora losowego o zadanym rozkładzie wielowymiarowym (ciągłym lub dyskretnym). W szczególności, potrafi stosować wzory na sumę, iloczyn oraz iloraz zmiennych losowych wchodzących w skład wektora losowego o danym rozkładzie ciągłym. [WaRP_I_11]
 K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna i rozumie pojęcie niezależności zmiennych losowych oraz charakteryzacje tego pojęcia w przypadku rozkładów ciągłych i dyskretnych. [WaRP_I_12]
 K_W03 [3/5] K_W04 [4/5]
Potrafi wyznaczyć dystrybuanty /gęstości / funkcje masy rozkładów brzegowych wektora losowego o danym rozkładzie prawdopodobieństwa i na tej podstawie zweryfikować niezależność zmiennych wchodzących w skład tego wektora. [WaRP_I_13]
 K_U03 [3/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Posługuje się modelem prawdopodobieństwa klasycznego podczas rozwiązywania zadań w zakresie skończonych przestrzeni jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych. [WaRP_I_2]
 K_U01 [3/5] K_U10 [4/5]
Posługuje się modelem prawdopodobieństwa geometrycznego przy rozwiązywań zadań, w których przestrzenią zdarzeń elementarnych jest borelowski podzbiór R^n o skończonej i dodatniej mierze Lebesgue'a. [WaRP_I_3]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5]
Zna i rozumie pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego, wzajemnej niezależności zdarzeń i ich rodzin oraz podstawowe twierdzenia związanie z tymi pojęciami. Potrafi wykorzystać tę wiedzę do wyznaczenia prawdopodobieństw zdarzeń w ramach rozmaitych doświadczeń losowych. [WaRP_I_4]
 K_W04 [4/5] K_U01 [3/5] K_U11 [5/5]
Posiada podstawową wiedzę z zakresu teorii miary (dot. σ-ciała, mierzalności, σ-addytywnych funkcji zbioru i całki Lebesgue'a względem dowolnej miary) niezbędną w teorii prawdopodobieństwa. [WaRP_I_5]
 K_W03 [3/5] K_W04 [4/5] K_W05 [3/5]
Zna i rozumie pojęcia zmiennej losowej, rozkładu prawdopodobieństwa, jego dystrybuanty, funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego, jak również najważniejsze fakty dotyczące własności tych obiektów oraz związków między nimi. Potrafi wykorzystywać tę wiedzę do budowy i analizy nieskomplikowanych modeli probabilistycznych słownie opisanych doświadczeń losowych. [WaRP_I_6]
 K_W04 [4/5] K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna najważniejsze przykłady dyskretnych i ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, ich znaczenie praktyczne oraz potrafi wskazać wybrane doświadczenia losowe, w których te rozkłady występują. [WaRP_I_7]
 K_W05 [5/5]
Potrafi zbadać, czy dana funkcja jest dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa oraz wyznaczyć dystrybuantę rozkładu o zadanej gęstości / funkcji masy i na odwrót. Potrafi wyznaczyć gęstość / funkcję masy borelowskiego przekształcenia zmiennej losowej o zadanym rozkładzie. [WaRP_I_8]
 K_U03 [3/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Potrafi wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję funkcji zmiennej losowej o (ciągłym lub dyskretnym) rozkładzie prawdopodobieństwa zadanym w sposób bezpośredni lub wynikający z opisu doświadczenia losowego. [WaRP_I_9]
 K_U03 [4/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Forma prowadzonych zajęć Liczba godzin Metody prowadzenia zajęć Sposób weryfikacji efektów uczenia się Efekty uczenia się
konwersatorium [WzRPr1_fs_1] 30 Opis [a03] 
Objaśnienie/wyjaśnienie [a05] 
Metody aktywizujące: dyskusja/debata [b04] 
Ćwiczenie laboratoryjne/doświadczenie [e01] 
Indywidualna praca z tekstem [f02]  		zaliczenie WaRP_I_1 WaRP_I_10 WaRP_I_11 WaRP_I_12 WaRP_I_13 WaRP_I_2 WaRP_I_3 WaRP_I_4 WaRP_I_5 WaRP_I_6 WaRP_I_7 WaRP_I_8 WaRP_I_9
Praca studenta poza udziałem w zajęciach obejmuje w szczególności:
Nazwa Kategoria Opis
Kwerenda materiałów i przegląd działań niezbędnych do uczestnictwa w zajęciach [a01] Przygotowanie do zajęć
przegląd literatury, dokumentacji, narzędzi i materiałów oraz specyfiki i zakresu działań wskazanych w sylabusie jako wymagane do pełnego uczestnictwa w zajęciach
Czytanie literatury / analiza materiałów źródłowych [a02] Przygotowanie do zajęć
czytanie literatury wskazanej w sylabusie; przegląd, porządkowanie, analiza i wybór materiałów źródłowych do wykorzystania w ramach zajęć
Ćwiczenie praktycznych umiejętności [a03] Przygotowanie do zajęć
czynności polegające na powtarzaniu, doskonaleniu i utrwalaniu praktycznych umiejętności, w tym ćwiczonych podczas odbytych wcześniej zajęć lub nowych, niezbędnych z punktu widzenia realizacji kolejnych elementów programu (jako przygotowanie się uczestnictwa w zajęciach)
Konsultowanie materiałów uzupełniających [względem wskazanych w sylabusie] [a04] Przygotowanie do zajęć
uzgadnianie dodatkowych do wskazanych w sylabusie materiałów, służących realizacji zadań wynikających z uczestnictwa w zajęciach lub na potrzeby przygotowania się do nich
Wytworzenie/przygotowanie narzędzi, materiałów, dokumentacji niezbędnych do uczestnictwa w zajęciach [a05] Przygotowanie do zajęć
opracowanie, przygotowanie i weryfikacja przydatności narzędzi oraz materiałów (np. pomocy, scenariuszy, narzędzi badawczych, aparatury, itd.) do wykorzystania w ramach zajęć lub służących przygotowaniu się do nich
Zapoznanie się z zapisami sylabusa [b01] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
przeglądanie zawartości sylabusa i zapoznanie się z treścią jego zapisów
Weryfikacja/dostosowanie/dyskutowanie zapisów w sylabusie [b02] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
konsultowanie treści sylabusa z potencjalną weryfikacją zapisów wymagających spełnienia specjalnych warunków uczestnictwa w zajęciach, np. wymagań technicznych, czasowych, przestrzennych, innych, w tym warunków uczestnictwa w zajęciach poza murami uczelni, zajęć organizowanych w blokach, organizowanych online, itp.; konsultowanie z potencjalnym udziałem opiekuna roku lub członkami grupy zajęciowej
Ustalanie etapów realizacji zadań przyczyniających się do weryfikacji efektów uczenia się [c01] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
przygotowanie strategii realizacji zadania uwzględniającej podział treści, czynności i ich zakres, czas realizacji oraz/lub sposób pozyskania niezbędnych do jego wykonania materiałów i narzędzi, itp.
Studiowanie wykorzystanej literatury oraz wytworzonych w ramach zajęć materiałów [c02] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
wgłębianie się, dociekanie, rozważanie, przyswajanie, interpretacja lub porządkowanie wiedzy pochodzącej z literatury, dokumentacji, instrukcji, scenariuszy, itd., wykorzystanych na zajęciach oraz z notatek lub innych materiałów/wytworów sporządzonych w ich trakcie
Analiza korekt/informacji zwrotnej ze strony NA dotyczących wyników wer. ef. ucz. [d01] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd uwag, ocen i opinii sporządzonych przez NA odnoszących się do realizacji zadania sprawdzającego poziom osiągniętych efektów uczenia się
Opracowanie planu korekty i zadań uzupełniających/korygujących [d02] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd i wybór zadań oraz czynności pozwalających na eliminację wskazanych przez NA błędów, ich weryfikację lub poprawę oraz zaliczenie zadania na, co najmniej, najniższym dopuszczalnym poziomie
Załączniki
Opis modułu (PDF)
Informacje o sylabusach mogą ulec zmianie w trakcie trwania studiów.
Sylabusy (USOSweb)
Semestr Moduł Język wykładowy
(brak danych)