Analiza matematyczna II A Kierunek studiów: Matematyka
Kod programu: W4-S1MT19.2024

Nazwa modułu: Analiza matematyczna II A
Kod modułu: W4-MT-S1-24-AMa2A
Kod programu: W4-S1MT19.2024
Semestr: semestr zimowy 2025/2026
Język wykładowy: polski
Forma zaliczenia: egzamin
Punkty ECTS: 12
Cel i opis treści kształcenia:
Celem modułu Analiza matematyczna II A jest zapoznanie studentów z elementarną teorią miary, teorią całek krzywoliniowych i powierzchniowych. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Ogólna teoria miary: Pojęcie przeliczalnie addytywnego ciała zbiorów. Definicja miary i jej podstawowe własności. Twierdzenia o mierze sumy wstępującego i iloczynie zstępującego ciągu zbiorów mierzalnych. Pojęcie miary zewnętrznej. Twierdzenie Carathéodory’ego. 2. Miara Lebesgue’a: Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Mierzalność zbiorów borelowskich. Twierdzenie o charakteryzacji zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Przykład Vitaliego. 3. Funkcje mierzalne: Podstawowe własności funkcji mierzalnych. Funkcje proste. 4. Ogólna teoria całki i całka Lebesgue’a: Całka Lebesgue’a. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. 5. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe w ℝ^3 : Krzywe regularne w ℝ^3 i ich parametryzacje. Orientacja krzywej, wektor styczny do krzywej. Pojęcia całek krzywoliniowych nieskierowanych, skierowanych i związki między nimi. Twierdzenie Greena. Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Powierzchnie regularne i ich parametryzacje. Wektor normalny do powierzchni, orientacja powierzchni. Całki powierzchniowe niezorientowane, zorientowane i związki między nimi. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Klasyczne twierdzenie Stokesa.
Lista modułów koniecznych do zaliczenia przed przystąpieniem do tego modułu (o ile to konieczne): nie dotyczy
Efekt modułowy Kody efektów kierunkowych do których odnosi się efekt modułowy [stopień realizacji: skala 1-5]
zna definicje ciała i σ-ciała, potrafi podać przykłady takich struktur i sprawdzić czy dana rodzina zbiorów jest ciałem (σ-ciałem) [AMa2A_1]
 K_W02 [3/5] K_W04 [3/5] K_W05 [3/5]
zna idee konstruowania miar, w szczególności miary Lebesgue’a [AMa2A_2]
 K_W02 [2/5] K_W04 [2/5] K_W05 [3/5]
potrafi obliczyć miarę Lebesgue’a nieskomplikowanych zbiorów [AMa2A_3]
 K_U01 [3/5]
potrafi sprawdzić mierzalność nieskomplikowanych funkcji [AMa2A_4]
 K_W05 [2/5] K_U01 [3/5]
zna i umie obliczać całki Lebesgue’a nieskomplikowanych funkcji [AMa2A_5]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5]
rozumie potrzebę stosowania całek krzywoliniowych i powierzchniowych i zna elementarne związki między nimi [AMa2A_6]
 K_W01 [1/5] K_U01 [2/5] K_U03 [3/5]
zna i potrafi zastosować podstawowe metody obliczania całek podwójnych i potrójnych [AMa2A_7]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5] K_U14 [3/5]
potrafi zastosować nabytą wiedzę w praktyce [AMa2A_8]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5] K_U07 [3/5] K_U14 [4/5] K_K03 [3/5]
Forma prowadzonych zajęć Liczba godzin Metody prowadzenia zajęć Sposób weryfikacji efektów uczenia się Efekty uczenia się
wykład [AMa2A_fs_1] 60 Wykład informacyjny/kursowy [a01]  egzamin AMa2A_1 AMa2A_2 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_5 AMa2A_6 AMa2A_7
konwersatorium [AMa2A_fs_2] 60 Metody aktywizujące: peer learning [b08] 
Praca z podręcznikiem programowym [d02] 
Rekonstrukcja/odtworzenie [d04] 
Ćwiczenie laboratoryjne/doświadczenie [e01]  		zaliczenie AMa2A_1 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_5 AMa2A_6 AMa2A_7 AMa2A_8
laboratorium [AMa2A_fs_3] 15 Praca z komputerem [d01] 
Rekonstrukcja/odtworzenie [d04] 
Ćwiczenie laboratoryjne/doświadczenie [e01]  		zaliczenie AMa2A_7 AMa2A_8
Praca studenta poza udziałem w zajęciach obejmuje w szczególności:
Nazwa Kategoria Opis
Ćwiczenie praktycznych umiejętności [a03] Przygotowanie do zajęć
czynności polegające na powtarzaniu, doskonaleniu i utrwalaniu praktycznych umiejętności, w tym ćwiczonych podczas odbytych wcześniej zajęć lub nowych, niezbędnych z punktu widzenia realizacji kolejnych elementów programu (jako przygotowanie się uczestnictwa w zajęciach)
Zapoznanie się z zapisami sylabusa [b01] Konsultowanie programu i organizacji zajęć
przeglądanie zawartości sylabusa i zapoznanie się z treścią jego zapisów
Ustalanie etapów realizacji zadań przyczyniających się do weryfikacji efektów uczenia się [c01] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
przygotowanie strategii realizacji zadania uwzględniającej podział treści, czynności i ich zakres, czas realizacji oraz/lub sposób pozyskania niezbędnych do jego wykonania materiałów i narzędzi, itp.
Studiowanie wykorzystanej literatury oraz wytworzonych w ramach zajęć materiałów [c02] Przygotowanie do weryfikacji efektów uczenia się
wgłębianie się, dociekanie, rozważanie, przyswajanie, interpretacja lub porządkowanie wiedzy pochodzącej z literatury, dokumentacji, instrukcji, scenariuszy, itd., wykorzystanych na zajęciach oraz z notatek lub innych materiałów/wytworów sporządzonych w ich trakcie
Analiza korekt/informacji zwrotnej ze strony NA dotyczących wyników wer. ef. ucz. [d01] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd uwag, ocen i opinii sporządzonych przez NA odnoszących się do realizacji zadania sprawdzającego poziom osiągniętych efektów uczenia się
Opracowanie planu korekty i zadań uzupełniających/korygujących [d02] Konsultowanie wyników weryfikacji efektów uczenia się
przegląd i wybór zadań oraz czynności pozwalających na eliminację wskazanych przez NA błędów, ich weryfikację lub poprawę oraz zaliczenie zadania na, co najmniej, najniższym dopuszczalnym poziomie
Załączniki
Opis modułu (PDF)
Informacje o sylabusach mogą ulec zmianie w trakcie trwania studiów.
Sylabusy (USOSweb)
Semestr Moduł Język wykładowy
(brak danych)