Analiza matematyczna II A Kierunek studiów: Matematyka
Kod programu: W4-S1MT19.2022

Nazwa modułu: Analiza matematyczna II A
Kod modułu: 03-MO1S-19-AMa2A
Kod programu: W4-S1MT19.2022
Semestr: semestr zimowy 2023/2024
Język wykładowy: polski
Forma zaliczenia: egzamin
Punkty ECTS: 10
Opis:
Celem modułu Analiza matematyczna II A jest zapoznanie studentów z elementarną teorią miary, teorią całek krzywoliniowych i powierzchniowych. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Ogólna teoria miary: Pojęcie przeliczalnie addytywnego ciała zbiorów. Definicja miary i jej podstawowe własności. Twierdzenia o mierze sumy wstępującego i iloczynie zstępującego ciągu zbiorów mierzalnych. Pojęcie miary zewnętrznej. Twierdzenie Carathéodory’ego. 2. Miara Lebesgue’a: Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Mierzalność zbiorów borelowskich. Twierdzenie o charakteryzacji zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Przykład Vitaliego. 3. Funkcje mierzalne: Podstawowe własności funkcji mierzalnych. Funkcje proste. 4. Ogólna teoria całki i całka Lebesgue’a: Całka Lebesgue’a. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. 5. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe w R^3 : Krzywe regularne w R^3 i ich parametryzacje. Orientacja krzywej, wektor styczny do krzywej. Pojęcia całek krzywoliniowych nieskierowanych, skierowanych i związki między nimi. Twierdzenie Greena. Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Powierzchnie regularne i ich parametryzacje. Wektor normalny do powierzchni, orientacja powierzchni. Całki powierzchniowe niezorientowane, zorientowane i związki między nimi. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Klasyczne twierdzenie Stokesa.
Wymagania wstępne:
(brak informacji)
Literatura podstawowa:
(brak informacji)
Efekt modułowy Kody efektów kierunkowych do których odnosi się efekt modułowy [stopień realizacji: skala 1-5]
zna definicje ciała i sigma ciała, potrafi podać przykłady takich struktur i sprawdzić czy dana rodzina zbiorów jest ciałem (sigma-ciałem) [AMa2A_1]
 K_W03 [3/5] K_W05 [3/5]
zna idee konstruowania miar, w szczególności miary Lebesgue’a [AMa2A_2]
 K_W03 [2/5] K_W04 [2/5] K_W05 [3/5]
potrafi obliczyć miarę Lebesgue’a nieskomplikowanych zbiorów [AMa2A_3]
 K_U13 [2/5] K_U14 [3/5]
potrafi sprawdzić mierzalność nieskomplikowanych funkcji [AMa2A_4]
 K_W05 [2/5]
zna i umie obliczać całki Lebesgue’a nieskomplikowanych funkcji [AMa2A_5]
 K_U13 [3/5] K_U14 [3/5]
widzi potrzebę zapisywania całek szczególnego typu w postaci tzw. całek krzywoliniowych i powierzchniowych i zna elementarne związki między nimi [AMa2A_6]
 K_U14 [2/5]
Typ Opis Kody efektów modułowych do których odnosi się sposób weryfikacji
aktywność na zajęciach [AMa2A_w_1]
Weryfikacja na podstawie odpowiedzi na zadawane pytania dotyczące wykładanych treści i znajomości rozwiązań zdań domowych
 AMa2A_1 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_5 AMa2A_6
sprawdziany pisemne na konwersatoriach [AMa2A_w_2]
Weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań sprawdzianów pisemnych
 AMa2A_1 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_5 AMa2A_6
egzamin pisemny [AMa2A_w_3]
Weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań sprawdzianów egzaminacyjnych, weryfikacja zrozumienia pojęć i twierdzeń przez analizę odpowiedzi na teoretyczne pytania egzaminacyjne
 AMa2A_1 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_5 AMa2A_6
egzamin ustny [AMa2A_w_4]
Weryfikacja znajomości i zrozumienia definicji, twierdzeń i ich dowodów prezentowanych na wykładach
 AMa2A_1 AMa2A_2 AMa2A_4 AMa2A_6
Rodzaj prowadzonych zajęć Praca własna studenta Sposoby weryfikacji
Typ Opis (z uwzględnieniem metod dydaktycznych) Liczba godzin Opis Liczba godzin
wykład [AMa2A_fs_1]
Wykład klasyczny „przy użyciu kredy i tablicy” wzbogacony przykładami i komentarzami
 60
Studiowanie wykładów I wskazanej literatury
 60 aktywność na zajęciach [AMa2A_w_1] egzamin pisemny [AMa2A_w_3] egzamin ustny [AMa2A_w_4]
konwersatorium [AMa2A_fs_2]
Samodzielne rozwiązywanie zadań przy tablicy, rozwiązywanie zadań w małych grupach
 60
Rozwiązywanie zadań
 60 aktywność na zajęciach [AMa2A_w_1] sprawdziany pisemne na konwersatoriach [AMa2A_w_2] egzamin pisemny [AMa2A_w_3]
Załączniki
Opis modułu (PDF)
Informacje o sylabusach mogą ulec zmianie w trakcie trwania studiów.
Sylabusy (USOSweb)
Semestr Moduł Język wykładowy
(brak danych)