Elementary probability theory II Field of study: Mathematics
Programme code: W4-S1MT19.2024

Module name: Elementary probability theory II
Module code: W4-MT-S1-24-WzRPr2
Programme code: W4-S1MT19.2024
Semester: winter semester 2026/2027
Language of instruction: Polish
Form of verification: course work
ECTS credits: 1
Purpose and description of the content of education:
Przedmiot stanowi kontynuację modułu "Warsztaty z rachunku prawdopodobieństwa I" i ma na celu wsparcie realizacji kursu "Rachunek prawdopodobieństwa A". W założeniu warsztaty winny zapewnić studentom czas do samodzielnego rozwiązywania zadań rachunkowych i problemowych (z pomocą prowadzącego) oraz wspólnej dyskusji nad zagadnieniami teoretycznymi z zakresu probabilistyki, którego często brakuje podczas ćwiczeń / konwersatorium do wykładu kursowego. W ramach zajęć realizowane będą zagadnienia wybrane spośród wyszczególnionych poniżej, w zależności od potrzeb studentów. Przede wszystkim uwzględnione zostaną te, których przyswojenie podczas konwersatorium / ćwiczeń z Rachunku prawdopodobieństwa A okazało się dla studentów problematyczne. 1. Kowariancja, współczynnik korelacji oraz macierz kowariancji wektora losowego. 2. Wielowymiarowy rozkład normalny. 3. Funkcja charakterystyczna rozkładu prawdopodobieństwa. 4. Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych. 5. Prawa wielkich liczb. 6. Centralne twierdzenie graniczne. 7. Warunkowa wartość oczekiwana. 8. Martyngały.
List of modules that must be completed before starting this module (if necessary): not applicable
Learning outcome of the module Codes of the learning outcomes of the programme to which the learning outcome of the module is related [level of competence: scale 1-5]
Zna pojęcie kowariancji, współczynnika korelacji liniowej oraz macierzy kowariancji wektora losowego i jej własności. Rozumie różnicę między niezależnością i brakiem korelacji zmiennych losowych. [WaRP_II_01]
 K_W04 [4/5]
Potrafi wyznaczyć macierz kowariancji wektora losowego o zadanym rozkładzie (ciągłym lub dyskretnym) oraz znaleźć macierz kowariancji jego dowolnego przekształcenia liniowego. [WaRP_II_02]
 K_U03 [3/5] K_U04 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie wielowymiarowego rozkładu normalnego oraz postać jego gęstości. Potrafi wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji rozkładu normalnego o zadanej gęstości, jak również gęstość takiego rozkładu na podstawie znajomości tych parametrów. [WaRP_II_03]
 K_W04 [4/5] K_U04 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie funkcji charakterystycznej rozkładu prawdopodobieństwa, jej podstawowe własności oraz najważniejsze fakty z nią związane (jak wzór Levy’ego na odwrócenie, twierdzenie o odwrotnym przekształceniu Fouriera, twierdzenie dot. funkcji charakterystycznej rozkładu dyskretnego i twierdzenie o różniczkowaniu funkcji odwrotnej). Pamięta wzory funkcji charakterystycznych najważniejszych rozkładów. [WaRP_II_04]
 K_W04 [4/5] K_W05 [3/5]
Potrafi wyznaczyć funkcje charakterystyczne wybranych (ciągłych i dyskretnych) rozkładów prawdopodobieństwa oraz gęstości / funkcje masy wybranych rozkładów na podstawie ich funkcji charakterystycznych. Potrafi wykorzystać twierdzenie o różniczkowaniu funkcji charakterystycznej do wyznaczenia momentów wyższego rzędu zmiennej losowej o danym rozkładzie. [WaRP_II_05]
 K_U03 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna definicje różnych rodzajów zbieżności zmiennych losowych oraz implikacje między nimi. Jednocześnie, potrafi wskazać przykłady ilustrujące brak implikacji w określonym kierunku. [WaRP_II_06]
 K_W04 [4/5] K_W05 [5/5]
Zna centralne twierdzenie granicznego Lindeberga-Levy'ego (dla ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) i najważniejsze kryteria gwarantujące spełnienie mocnego i słabego prawa wielkich liczb. Ma właściwe intuicje co do tych twierdzeń i rozumie ich w znacznie w statystyce. [WaRP_II_07]
 K_W01 [2/5] K_W03 [3/5] K_W04 [4/5]
Potrafi stosować centralne twierdzenie graniczne do wyznaczania przybliżonych prawdopodobieństw zdarzeń opisanych przez sumy niezależnych zmiennych losowych. W wybranych przypadkach potrafi wykazać, że dany ciąg zmiennych losowych spełnia mocne / słabe prawo wielkich liczb, bądź udowodnić, że prawo to nie zachodzi. [WaRP_II_08]
 K_U01 [4/5] K_U09 [2/5] K_U11 [5/5]
Zna i rozumie pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej względem σ-ciała (w szczególności generowanego przez wektor losowy) oraz jej własności. W oparciu o to pojęcie, potrafi sformułować uogólnioną definicję prawdopodobieństwa warunkowego i warunkowego rozkładu zmiennej losowej (względem wektora losowego). [WaRP_II_09]
 K_W02 [2/5] K_W04 [4/5] K_U01 [3/5]
Potrafi wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną E[f(X,Y)|Y] dla danego wektora losowego (X,Y) o rozkładzie ciągłym lub dyskretnym, jak również wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej f(X) przy danym rozkładzie warunkowym zmiennej X. [WaRP_II_10]
 K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcia filtracji przestrzeni probabilistycznej, martyngału, podmartyngału oraz nadmartyngału. Rozumie intuicje stojące za tym pojęciami oraz potrafi wskazać ilustrujące je przykłady. [WaRP_II_11]
 K_W04 [4/5] K_W05 [4/5]
Potrafi zbadać, czy (lub dla jakich wartości parametrów) dany ciąg zmiennych losowych jest (pod/nad) martyngałem względem zadanej filtracji. [WaRP_II_12]
 K_U01 [2/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Form of teaching Number of hours Methods of conducting classes Assessment of the learning outcomes Learning outcomes
discussion classes [WzRPr2_fs_1] 15 Description [a03] 
Explanation/clarification [a05] 
Activating method – discussion / debate [b04] 
Laboratory exercise / experiment [e01] 
Individual work with a text [f02]  		course work WaRP_II_01 WaRP_II_02 WaRP_II_03 WaRP_II_04 WaRP_II_05 WaRP_II_06 WaRP_II_07 WaRP_II_08 WaRP_II_09 WaRP_II_10 WaRP_II_11 WaRP_II_12
The student's work, apart from participation in classes, includes in particular:
Name Category Description
Search for materials and review activities necessary for class participation [a01] Preparation for classes
reviewing literature, documentation, tools and materials as well as the specifics of the syllabus and the range of activities indicated in it as required for full participation in classes
Literature reading / analysis of source materials [a02] Preparation for classes
reading the literature indicated in the syllabus; reviewing, organizing, analyzing and selecting source materials to be used in class
Developing practical skills [a03] Preparation for classes
activities involving the repetition, refinement and consolidation of practical skills, including those developed during previous classes or new skills necessary for the implementation of subsequent elements of the curriculum (as preparation for class participation)
Consulting materials complementary to those indicated in the syllabus [a04] Preparation for classes
agreeing on materials complementary to those indicated in the syllabus, supporting the implementation of tasks resulting from or necessary for class participation
Production/preparation of tools, materials or documentation necessary for class participation [a05] Preparation for classes
developing, preparing and assessing the usefulness of tools and materials (e.g. aids, scenarios, research tools, equipment, etc.) to be employed in class or as an aid when preparing for classes
Getting acquainted with the syllabus content [b01] Consulting the curriculum and the organization of classes
reading through the syllabus and getting acquainted with its content
Verification / adjustment / discussion of syllabus provisions [b02] Consulting the curriculum and the organization of classes
consulting the content of the syllabus, possibly in the presence of the year tutor or members of the class group, and, if necessary, reassessing the provisions concerning special conditions for class participation, e.g., space and time requirements, technical and other requirements, including conditions for participation in classes outside the walls of the university, classes organized in blocks, organized online, etc.
Determining the stages of task implementation contributing to the verification of learning outcomes [c01] Preparation for verification of learning outcomes
devising a task implementation strategy embracing the division of content, the range of activities, implementation time and/or the method(s) of obtaining the necessary materials and tools, etc.
Studying the literature used in and the materials produced in class [c02] Preparation for verification of learning outcomes
exploring the studied content, inquiring, considering, assimilating, interpreting it, or organizing knowledge obtained from the literature, documentation, instructions, scenarios, etc., used in class as well as from the notes or other materials/artifacts made in class
Analysis of the corrective feedback provided by the academic teacher on the results of the verification of learning outcomes [d01] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reading through the academic teacher’s comments, assessments and opinions on the implementation of the task aimed at checking the level of the achieved learning outcomes
Development of a corrective action plan as well as supplementary/corrective tasks [d02] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reviewing and selecting tasks and activities enabling the elimination of errors indicated by the academic teacher, their verification or correction resulting in completing the task with at least the minimum passing grade
Attachments
Module description (PDF)
Information concerning module syllabuses might be changed during studies.
Syllabuses (USOSweb)
Semester Module Language of instruction
(no information given)