Elementary probability theory I Field of study: Mathematics
Programme code: W4-S1MT19.2024

Module name: Elementary probability theory I
Module code: W4-MT-S1-24-WzRPr1
Programme code: W4-S1MT19.2024
Semester: summer semester 2025/2026
Language of instruction: Polish
Form of verification: course work
ECTS credits: 2
Purpose and description of the content of education:
Przedmiot ma na celu uzupełnienie wiadomości z zakresu teorii prawdopodobieństwa wyniesionych ze szkoły średniej oraz wsparcie realizacji modułu "Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa A". W założeniu warsztaty winny zapewnić studentom czas do samodzielnego rozwiązywania zadań rachunkowych i problemowych (z pomocą prowadzącego) oraz wspólnej dyskusji nad zagadnieniami teoretycznymi, którego często brakuje podczas ćwiczeń / konwersatorium do wykładu kursowego. W ramach zajęć realizowane będą tematy wybrane spośród wyszczególnionych poniżej, w zależności od potrzeb studentów. Najwięcej uwagi poświęcone zostanie tym zagadnieniom, których przyswojenie podczas konwersatorium / ćwiczeń ze "Wstępu do rachunku prawdopodobieństwa A" okazało się dla studentów problematyczne. 1. Podstawowe schematy kombinatoryczne (kombinacje, wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń, permutacje). 2. Pojęcie σ-ciała, mierzalności funkcji, miary i całki Lebesgue'a względem dowolnej miary oraz podstawowe fakty z nimi związane. Własności miar probabilistycznych. 3. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne. 4. Prawdopodobieństwo warunkowe oraz twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa. 5. Wzajemna niezależność zdarzeń i rodzin zdarzeń, schemat Bernoulliego, lemat Borela-Cantellego. 6. Zmienne losowe, ich rozkłady prawdopodobieństwa i dystrybuanty. Pojęcie funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego. Przykłady najważniejszych rozkładów. 7. Metody wyznaczania rozkładów borelowskich przekształceń zmiennych losowych. 8. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. Nierówności Markowa, Czebyszewa-Bienayme i Holdera. 9. Wektory losowe, ich rozkłady prawdopodobieństwa i dystrybuanty. Pojęcie funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego (w kontekście wielowymiarowym). 10. Rozkłady brzegowe i metody ich wyznaczania. 11. Niezależność zmiennych losowych oraz jej charakteryzacje w języku dystrybuant, funkcji mas (w przypadku rozkładów dyskretnych) i gęstości (w przypadku rozkładów ciągłych). Nierówność Kołmogorowa. 12. Metody wyznaczania rozkładów borelowskich przekształceń wektorów losowych. W szczególności stosowanie wzorów na gęstość sumy, iloczynu i ilorazu składowych wektora losowego o rozkładzie ciągłym.
List of modules that must be completed before starting this module (if necessary): not applicable
Learning outcome of the module Codes of the learning outcomes of the programme to which the learning outcome of the module is related [level of competence: scale 1-5]
Zna podstawowe schematy kombinatoryczne i potrafi je wykorzystać do opisu i rozwiązywania elementarnych problemów w zakresu kombinatoryki (jak np. wyznaczanie ilości sekwencji elementów spełniających zadane warunki). [WaRP_I_1]
 K_U09 [3/5] K_U10 [4/5]
Zna i rozumie pojęcia wektora losowego, jego rozkładu prawdopodobieństwa, dystrybuanty oraz funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego (w kontekście wielowymiarowym), jak również najważniejsze fakty dotyczące własności tych obiektów i związków między nimi. Potrafi wykorzystywać tę wiedzę do budowy i analizy nieskomplikowanych modeli probabilistycznych słownie opisanych doświadczeń losowych. [WaRP_I_10]
 K_W04 [4/5] K_U01 [3/5] K_U03 [3/5] K_U11 [5/5]
Potrafi wyznaczyć dystrybuantę wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa o danej gęstości / funkcji masy i na odwrót, jak również gęstość / funkcję masy borelowskiego przekształcenia wektora losowego o zadanym rozkładzie wielowymiarowym (ciągłym lub dyskretnym). W szczególności, potrafi stosować wzory na sumę, iloczyn oraz iloraz zmiennych losowych wchodzących w skład wektora losowego o danym rozkładzie ciągłym. [WaRP_I_11]
 K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna i rozumie pojęcie niezależności zmiennych losowych oraz charakteryzacje tego pojęcia w przypadku rozkładów ciągłych i dyskretnych. [WaRP_I_12]
 K_W03 [3/5] K_W04 [4/5]
Potrafi wyznaczyć dystrybuanty /gęstości / funkcje masy rozkładów brzegowych wektora losowego o danym rozkładzie prawdopodobieństwa i na tej podstawie zweryfikować niezależność zmiennych wchodzących w skład tego wektora. [WaRP_I_13]
 K_U03 [3/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Posługuje się modelem prawdopodobieństwa klasycznego podczas rozwiązywania zadań w zakresie skończonych przestrzeni jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych. [WaRP_I_2]
 K_U01 [3/5] K_U10 [4/5]
Posługuje się modelem prawdopodobieństwa geometrycznego przy rozwiązywań zadań, w których przestrzenią zdarzeń elementarnych jest borelowski podzbiór R^n o skończonej i dodatniej mierze Lebesgue'a. [WaRP_I_3]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5]
Zna i rozumie pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego, wzajemnej niezależności zdarzeń i ich rodzin oraz podstawowe twierdzenia związanie z tymi pojęciami. Potrafi wykorzystać tę wiedzę do wyznaczenia prawdopodobieństw zdarzeń w ramach rozmaitych doświadczeń losowych. [WaRP_I_4]
 K_W04 [4/5] K_U01 [3/5] K_U11 [5/5]
Posiada podstawową wiedzę z zakresu teorii miary (dot. σ-ciała, mierzalności, σ-addytywnych funkcji zbioru i całki Lebesgue'a względem dowolnej miary) niezbędną w teorii prawdopodobieństwa. [WaRP_I_5]
 K_W03 [3/5] K_W04 [4/5] K_W05 [3/5]
Zna i rozumie pojęcia zmiennej losowej, rozkładu prawdopodobieństwa, jego dystrybuanty, funkcji masy rozkładu dyskretnego i gęstości rozkładu ciągłego, jak również najważniejsze fakty dotyczące własności tych obiektów oraz związków między nimi. Potrafi wykorzystywać tę wiedzę do budowy i analizy nieskomplikowanych modeli probabilistycznych słownie opisanych doświadczeń losowych. [WaRP_I_6]
 K_W04 [4/5] K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna najważniejsze przykłady dyskretnych i ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, ich znaczenie praktyczne oraz potrafi wskazać wybrane doświadczenia losowe, w których te rozkłady występują. [WaRP_I_7]
 K_W05 [5/5]
Potrafi zbadać, czy dana funkcja jest dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa oraz wyznaczyć dystrybuantę rozkładu o zadanej gęstości / funkcji masy i na odwrót. Potrafi wyznaczyć gęstość / funkcję masy borelowskiego przekształcenia zmiennej losowej o zadanym rozkładzie. [WaRP_I_8]
 K_U03 [3/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Potrafi wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję funkcji zmiennej losowej o (ciągłym lub dyskretnym) rozkładzie prawdopodobieństwa zadanym w sposób bezpośredni lub wynikający z opisu doświadczenia losowego. [WaRP_I_9]
 K_U03 [4/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Form of teaching Number of hours Methods of conducting classes Assessment of the learning outcomes Learning outcomes
discussion classes [WzRPr1_fs_1] 30 Description [a03] 
Explanation/clarification [a05] 
Activating method – discussion / debate [b04] 
Laboratory exercise / experiment [e01] 
Individual work with a text [f02]  		course work WaRP_I_1 WaRP_I_10 WaRP_I_11 WaRP_I_12 WaRP_I_13 WaRP_I_2 WaRP_I_3 WaRP_I_4 WaRP_I_5 WaRP_I_6 WaRP_I_7 WaRP_I_8 WaRP_I_9
The student's work, apart from participation in classes, includes in particular:
Name Category Description
Search for materials and review activities necessary for class participation [a01] Preparation for classes
reviewing literature, documentation, tools and materials as well as the specifics of the syllabus and the range of activities indicated in it as required for full participation in classes
Literature reading / analysis of source materials [a02] Preparation for classes
reading the literature indicated in the syllabus; reviewing, organizing, analyzing and selecting source materials to be used in class
Developing practical skills [a03] Preparation for classes
activities involving the repetition, refinement and consolidation of practical skills, including those developed during previous classes or new skills necessary for the implementation of subsequent elements of the curriculum (as preparation for class participation)
Consulting materials complementary to those indicated in the syllabus [a04] Preparation for classes
agreeing on materials complementary to those indicated in the syllabus, supporting the implementation of tasks resulting from or necessary for class participation
Production/preparation of tools, materials or documentation necessary for class participation [a05] Preparation for classes
developing, preparing and assessing the usefulness of tools and materials (e.g. aids, scenarios, research tools, equipment, etc.) to be employed in class or as an aid when preparing for classes
Getting acquainted with the syllabus content [b01] Consulting the curriculum and the organization of classes
reading through the syllabus and getting acquainted with its content
Verification / adjustment / discussion of syllabus provisions [b02] Consulting the curriculum and the organization of classes
consulting the content of the syllabus, possibly in the presence of the year tutor or members of the class group, and, if necessary, reassessing the provisions concerning special conditions for class participation, e.g., space and time requirements, technical and other requirements, including conditions for participation in classes outside the walls of the university, classes organized in blocks, organized online, etc.
Determining the stages of task implementation contributing to the verification of learning outcomes [c01] Preparation for verification of learning outcomes
devising a task implementation strategy embracing the division of content, the range of activities, implementation time and/or the method(s) of obtaining the necessary materials and tools, etc.
Studying the literature used in and the materials produced in class [c02] Preparation for verification of learning outcomes
exploring the studied content, inquiring, considering, assimilating, interpreting it, or organizing knowledge obtained from the literature, documentation, instructions, scenarios, etc., used in class as well as from the notes or other materials/artifacts made in class
Analysis of the corrective feedback provided by the academic teacher on the results of the verification of learning outcomes [d01] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reading through the academic teacher’s comments, assessments and opinions on the implementation of the task aimed at checking the level of the achieved learning outcomes
Development of a corrective action plan as well as supplementary/corrective tasks [d02] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reviewing and selecting tasks and activities enabling the elimination of errors indicated by the academic teacher, their verification or correction resulting in completing the task with at least the minimum passing grade
Attachments
Module description (PDF)
Information concerning module syllabuses might be changed during studies.
Syllabuses (USOSweb)
Semester Module Language of instruction
(no information given)