Mathematical Analysis II A Field of study: Mathematics
Programme code: W4-S1MT19.2024

Module name: Mathematical Analysis II A
Module code: W4-MT-S1-24-AMa2A
Programme code: W4-S1MT19.2024
Semester: winter semester 2025/2026
Language of instruction: Polish
Form of verification: exam
ECTS credits: 12
Purpose and description of the content of education:
Celem modułu Analiza matematyczna II A jest zapoznanie studentów z elementarną teorią miary, teorią całek krzywoliniowych i powierzchniowych. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Ogólna teoria miary: Pojęcie przeliczalnie addytywnego ciała zbiorów. Definicja miary i jej podstawowe własności. Twierdzenia o mierze sumy wstępującego i iloczynie zstępującego ciągu zbiorów mierzalnych. Pojęcie miary zewnętrznej. Twierdzenie Carathéodory’ego. 2. Miara Lebesgue’a: Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Mierzalność zbiorów borelowskich. Twierdzenie o charakteryzacji zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Przykład Vitaliego. 3. Funkcje mierzalne: Podstawowe własności funkcji mierzalnych. Funkcje proste. 4. Ogólna teoria całki i całka Lebesgue’a: Całka Lebesgue’a. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Twierdzenia Tonellego i Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych. 5. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe w ℝ^3 : Krzywe regularne w ℝ^3 i ich parametryzacje. Orientacja krzywej, wektor styczny do krzywej. Pojęcia całek krzywoliniowych nieskierowanych, skierowanych i związki między nimi. Twierdzenie Greena. Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Powierzchnie regularne i ich parametryzacje. Wektor normalny do powierzchni, orientacja powierzchni. Całki powierzchniowe niezorientowane, zorientowane i związki między nimi. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Klasyczne twierdzenie Stokesa.
List of modules that must be completed before starting this module (if necessary): not applicable
Learning outcome of the module Codes of the learning outcomes of the programme to which the learning outcome of the module is related [level of competence: scale 1-5]
zna definicje ciała i σ-ciała, potrafi podać przykłady takich struktur i sprawdzić czy dana rodzina zbiorów jest ciałem (σ-ciałem) [AMa2A_1]
 K_W02 [3/5] K_W04 [3/5] K_W05 [3/5]
zna idee konstruowania miar, w szczególności miary Lebesgue’a [AMa2A_2]
 K_W02 [2/5] K_W04 [2/5] K_W05 [3/5]
potrafi obliczyć miarę Lebesgue’a nieskomplikowanych zbiorów [AMa2A_3]
 K_U01 [3/5]
potrafi sprawdzić mierzalność nieskomplikowanych funkcji [AMa2A_4]
 K_W05 [2/5] K_U01 [3/5]
zna i umie obliczać całki Lebesgue’a nieskomplikowanych funkcji [AMa2A_5]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5]
rozumie potrzebę stosowania całek krzywoliniowych i powierzchniowych i zna elementarne związki między nimi [AMa2A_6]
 K_W01 [1/5] K_U01 [2/5] K_U03 [3/5]
zna i potrafi zastosować podstawowe metody obliczania całek podwójnych i potrójnych [AMa2A_7]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5] K_U14 [3/5]
potrafi zastosować nabytą wiedzę w praktyce [AMa2A_8]
 K_U01 [3/5] K_U03 [3/5] K_U07 [3/5] K_U14 [4/5] K_K03 [3/5]
Form of teaching Number of hours Methods of conducting classes Assessment of the learning outcomes Learning outcomes
lecture [AMa2A_fs_1] 60 Formal lecture/ course-related lecture [a01]  exam AMa2A_1 AMa2A_2 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_5 AMa2A_6 AMa2A_7
discussion classes [AMa2A_fs_2] 60 Activating method – peer learning [b08] 
Working with a programmed textbook [d02] 
Reconstruction / reproduction [d04] 
Laboratory exercise / experiment [e01]  		course work AMa2A_1 AMa2A_3 AMa2A_4 AMa2A_5 AMa2A_6 AMa2A_7 AMa2A_8
laboratory classes [AMa2A_fs_3] 15 Working with a computer [d01] 
Reconstruction / reproduction [d04] 
Laboratory exercise / experiment [e01]  		course work AMa2A_7 AMa2A_8
The student's work, apart from participation in classes, includes in particular:
Name Category Description
Developing practical skills [a03] Preparation for classes
activities involving the repetition, refinement and consolidation of practical skills, including those developed during previous classes or new skills necessary for the implementation of subsequent elements of the curriculum (as preparation for class participation)
Getting acquainted with the syllabus content [b01] Consulting the curriculum and the organization of classes
reading through the syllabus and getting acquainted with its content
Determining the stages of task implementation contributing to the verification of learning outcomes [c01] Preparation for verification of learning outcomes
devising a task implementation strategy embracing the division of content, the range of activities, implementation time and/or the method(s) of obtaining the necessary materials and tools, etc.
Studying the literature used in and the materials produced in class [c02] Preparation for verification of learning outcomes
exploring the studied content, inquiring, considering, assimilating, interpreting it, or organizing knowledge obtained from the literature, documentation, instructions, scenarios, etc., used in class as well as from the notes or other materials/artifacts made in class
Analysis of the corrective feedback provided by the academic teacher on the results of the verification of learning outcomes [d01] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reading through the academic teacher’s comments, assessments and opinions on the implementation of the task aimed at checking the level of the achieved learning outcomes
Development of a corrective action plan as well as supplementary/corrective tasks [d02] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reviewing and selecting tasks and activities enabling the elimination of errors indicated by the academic teacher, their verification or correction resulting in completing the task with at least the minimum passing grade
Attachments
Module description (PDF)
Information concerning module syllabuses might be changed during studies.
Syllabuses (USOSweb)
Semester Module Language of instruction
(no information given)