Probability Theory A Field of study: Mathematics
Programme code: W4-S1MT19.2024

Module name: Probability Theory A
Module code: W4-MT-S1-24-RPraA
Programme code: W4-S1MT19.2024
Semester: winter semester 2026/2027
Language of instruction: Polish
Form of verification: exam
ECTS credits: 5
Purpose and description of the content of education:
Moduł Rachunek prawdopodobieństwa A ma na celu wykształcenie umiejętności swobodnego posługiwania się pojęciami i narzędziami teorii prawdopodobieństwa. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Kowariancja pary zmiennych losowych i macierz kowariancji wektora losowego. 2. Wielowymiarowy rozkład normalny. 3. Funkcja charakterystyczna - przypomnienie. 4. Różne rodzaje zbieżności zmiennych losowych i zależności między nimi. 5. Związek między zbieżnością wg. rozkładu i z punktową zbieżnością funkcji charakterystycznych. 6. Centralne twierdzenie graniczne. 7. Prawa wielkich liczb. 8. Warunkowa wartość oczekiwana. 9. Martyngały z czasem dyskretnym. 10. Dyskretne łańcuchy Markowa.
List of modules that must be completed before starting this module (if necessary): Introduction to Probability Theory A [W4-MT-S1-24-WRPrA]
Learning outcome of the module Codes of the learning outcomes of the programme to which the learning outcome of the module is related [level of competence: scale 1-5]
Zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu wstępu do rachunku prawdopodobieństwa. [RPraA_1]
 K_W04 [5/5] K_W05 [3/5] K_U10 [3/5] K_U11 [5/5]
Potrafi zbadać, czy (lub dla jakich wartości parametrów) dany ciąg zmiennych losowych jest (pod/nad) martyngałem względem zadanej filtracji. [RPraA_10]
 K_U01 [2/5] K_U09 [4/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie jednorodnego (w czasie) łańcucha Markowa, jego rozkładu początkowego, macierzy przejścia oraz jej podstawowe własności, jak również twierdzenie o istnieniu łańcucha Markowa o zadanych charakterystykach. Wie, jak klasyfikuje się stany łańcucha Markowa ze względu na charakter komunikacji między nimi, szanse i okresy powrotu do poszczególnych stanów oraz zna najważniejsze kryteria pozwalające na dokonanie tej klasyfikacji. Wie, czym jest rozkład stacjonarny łańcucha Markowa oraz zna twierdzenie ergodyczne dla nieprzywiedlnych i nieokresowych łańcuchów Markowa o skończonej przestrzeni stanów. [RPraA_11]
 K_W01 [2/5] K_W02 [3/5] K_W03 [3/5] K_W04 [5/5]
Potrafi wskazać reprezentatywne przykłady jednorodnych łańcuchów Markowa oraz sprawdzić, czy dany ciąg zmiennych losowych ma własność Markowa. W wybranych modelach potrafi dokonać klasyfikacji stanów (ze względu na komunikacje między nimi oraz szanse i okresy powrotu do poszczególnych stanów), wskazać klasy zamknięte, zbadać ich nieprzywiedlność oraz wyznaczyć rozkład stacjonarny łańcucha. [RPraA_12]
 K_W05 [3/5] K_U01 [3/5] K_U04 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Rozumie budowę teorii matematycznej w zakresie probabilistyki, potrafi użyć formalizmu matematycznego do budowy i analizy prostych modeli probabilistycznych w innych dziedzinach nauk. [RPraA_13]
 K_W02 [5/5] K_U01 [3/5] K_U02 [2/5]
Potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne oraz formułować twierdzenia i definicje z zakresu teorii prawdopodobieństwa. [RPraA_14]
 K_W03 [3/5] K_W04 [4/5] K_U01 [5/5] K_U02 [2/5] K_U13 [2/5]
Zna pojęcie kowariancji pary zmiennych losowych oraz macierzy kowariancji wektora losowego i jej podstawowe własności. Rozumie różnicę między niezależnością i brakiem korelacji zmiennych losowych. Potrafi wyznaczyć macierz kowariancji wektora losowego o zadanym rozkładzie (ciągłym lub dyskretnym) oraz znaleźć macierz kowariancji jego dowolnego przekształcenia liniowego. [RPraA_2]
 K_W04 [4/5] K_U03 [3/5] K_U04 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcie wielowymiarowego rozkładu normalnego oraz postać jego gęstości. Potrafi wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji rozkładu normalnego o zadanej gęstości, jak również gęstość takiego rozkładu na podstawie znajomości tych parametrów. [RPraA_3]
 K_W04 [4/5] K_U04 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna definicje różnych rodzajów zbieżności zmiennych losowych oraz implikacje między nimi. Jednocześnie, potrafi wskazać przykłady ilustrujące brak implikacji w określonym kierunku. [RPraA_4]
 K_W04 [4/5] K_W05 [5/5]
Zna centralne twierdzenie granicznego Lindeberga-Levy'ego (dla ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) i najważniejsze kryteria gwarantujące spełnienie mocnego i słabego prawa wielkich liczb. Ma właściwe intuicje co do tych twierdzeń i rozumie ich w znacznie w statystyce. [RPraA_5]
 K_W01 [2/5] K_W03 [4/5] K_W04 [4/5]
Potrafi stosować centralne twierdzenie graniczne do wyznaczania przybliżonych prawdopodobieństw zdarzeń opisanych przez sumy niezależnych zmiennych losowych. W określonych przypadkach potrafi wykazać, że dany ciąg zmiennych losowych spełnia mocne / słabe prawo wielkich liczb, bądź udowodnić, że prawo to nie zachodzi. [RPraA_6]
 K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Wie i rozumie czym jest warunkowa wartość oczekiwana zmiennej losowej względem σ-ciała (w szczególności generowanego przez wektor losowy), jak również zna i sprawnie posługuje się jej własnościami. W oparciu o pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej, potrafi sformułować uogólnioną definicję prawdopodobieństwa warunkowego i warunkowego rozkładu zmiennej losowej (względem wektora losowego). [RPraA_7]
 K_W02 [2/5] K_W04 [4/5] K_U11 [5/5]
Potrafi wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną E[f(X,Y)|Y] dla danego wektora losowego (X,Y) o rozkładzie ciągłym lub dyskretnym, jak również wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej f(X) przy danym rozkładzie warunkowym zmiennej X. [RPraA_8]
 K_U03 [3/5] K_U09 [3/5] K_U11 [5/5]
Zna pojęcia filtracji przestrzeni probabilistycznej, momentu stopu, martyngału, podmartyngału oraz nadmartyngału (z czasem dyskretnym), rozumie intuicje stojące za tym pojęciami oraz potrafi wskazać ilustrujące je przykłady. Ponadto, zna wybrane twierdzenia dotyczące (pod/nad)martyngałów. [RPraA_9]
 K_W04 [4/5] K_W05 [3/5]
Form of teaching Number of hours Methods of conducting classes Assessment of the learning outcomes Learning outcomes
lecture [RPraA_fs_1] 30 Formal lecture/ course-related lecture [a01] 
Explanation/clarification [a05] 
Lecture-discussion [b02] 
Activating method – discussion / debate [b04]  		exam RPraA_1 RPraA_10 RPraA_11 RPraA_12 RPraA_13 RPraA_14 RPraA_4 RPraA_5 RPraA_6 RPraA_7 RPraA_9
discussion classes [RPraA_fs_2] 30 Explanation/clarification [a05] 
Activating method – discussion / debate [b04] 
Working with a programmed textbook [d02] 
Laboratory exercise / experiment [e01] 
Individual work with a text [f02]  		course work RPraA_1 RPraA_10 RPraA_11 RPraA_12 RPraA_13 RPraA_14 RPraA_2 RPraA_3 RPraA_4 RPraA_5 RPraA_6 RPraA_7 RPraA_8 RPraA_9
The student's work, apart from participation in classes, includes in particular:
Name Category Description
Search for materials and review activities necessary for class participation [a01] Preparation for classes
reviewing literature, documentation, tools and materials as well as the specifics of the syllabus and the range of activities indicated in it as required for full participation in classes
Literature reading / analysis of source materials [a02] Preparation for classes
reading the literature indicated in the syllabus; reviewing, organizing, analyzing and selecting source materials to be used in class
Developing practical skills [a03] Preparation for classes
activities involving the repetition, refinement and consolidation of practical skills, including those developed during previous classes or new skills necessary for the implementation of subsequent elements of the curriculum (as preparation for class participation)
Consulting materials complementary to those indicated in the syllabus [a04] Preparation for classes
agreeing on materials complementary to those indicated in the syllabus, supporting the implementation of tasks resulting from or necessary for class participation
Getting acquainted with the syllabus content [b01] Consulting the curriculum and the organization of classes
reading through the syllabus and getting acquainted with its content
Verification / adjustment / discussion of syllabus provisions [b02] Consulting the curriculum and the organization of classes
consulting the content of the syllabus, possibly in the presence of the year tutor or members of the class group, and, if necessary, reassessing the provisions concerning special conditions for class participation, e.g., space and time requirements, technical and other requirements, including conditions for participation in classes outside the walls of the university, classes organized in blocks, organized online, etc.
Determining the stages of task implementation contributing to the verification of learning outcomes [c01] Preparation for verification of learning outcomes
devising a task implementation strategy embracing the division of content, the range of activities, implementation time and/or the method(s) of obtaining the necessary materials and tools, etc.
Studying the literature used in and the materials produced in class [c02] Preparation for verification of learning outcomes
exploring the studied content, inquiring, considering, assimilating, interpreting it, or organizing knowledge obtained from the literature, documentation, instructions, scenarios, etc., used in class as well as from the notes or other materials/artifacts made in class
Analysis of the corrective feedback provided by the academic teacher on the results of the verification of learning outcomes [d01] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reading through the academic teacher’s comments, assessments and opinions on the implementation of the task aimed at checking the level of the achieved learning outcomes
Development of a corrective action plan as well as supplementary/corrective tasks [d02] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reviewing and selecting tasks and activities enabling the elimination of errors indicated by the academic teacher, their verification or correction resulting in completing the task with at least the minimum passing grade
Attachments
Module description (PDF)
Information concerning module syllabuses might be changed during studies.
Syllabuses (USOSweb)
Semester Module Language of instruction
(no information given)