Probability Theory Field of study: Mathematics
Programme code: W4-S1MT19.2024

Module name: Probability Theory
Module code: W4-MT-S1-24-RPra
Programme code: W4-S1MT19.2024
Semester: winter semester 2026/2027
Language of instruction: Polish
Form of verification: exam
ECTS credits: 4
Purpose and description of the content of education:
Moduł Rachunek prawdopodobieństwa ma na celu wykształcenie umiejętności swobodnego posługiwania się podstawowymi pojęciami i narzędziami rachunku prawdopodobieństwa w zakresie teorii zmiennych losowych i ich rozkładów. Przewiduje się realizację następujących treści programowych: 1. Pojęcie przestrzeni probabilistycznej (model klasyczny, model geometryczny i inne), własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń, lemat Borela-Cantellego. 2. Pojęcie zmiennej losowej, jej rozkładu i parametrów rozkładu (dystrybuanta, wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe, momenty). 3. Przykłady zmiennych losowych o rozkładach dyskretnych i absolutnie ciągłych. 4. Nierówności związane z momentami. 5. Rozkład borelowskich przekształceń jednowymiarowej zmiennej losowej. 6. Zmienne losowe wielowymiarowe i ich rozkłady. 7. Macierz kowariancji, współczynnik korelacji. 8. Niezależność zmiennych losowych. 9. Rozkład sumy i iloczynu niezależnych zmiennych losowych. 10. Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych: słaba, stochastyczna, prawie na pewno. 11. Centralne twierdzenia graniczne i prawa wielkich liczb: zastosowania do szacowania prawdopodobieństw.
List of modules that must be completed before starting this module (if necessary): not applicable
Learning outcome of the module Codes of the learning outcomes of the programme to which the learning outcome of the module is related [level of competence: scale 1-5]
Zna główne pojęcia i twierdzenia z teorii prawdopodobieństwa. [RPra_1]
 K_W02 [2/5] K_W03 [3/5] K_W04 [4/5] K_W05 [4/5] K_U01 [5/5] K_U11 [3/5]
Potrafi konstruować odpowiednie do opisów modele probabilistyczne i definiować zmienne losowe. [RPra_2]
 K_W04 [3/5] K_U01 [4/5] K_U11 [3/5]
Potrafi wyznaczać dystrybuantę zmiennej losowej o danym rozkładzie (dyskretnym lub absolutnie ciągłym). Znając dystrybuantę zmiennej losowej potrafi wyznaczać jej rozkład. [RPra_3]
 K_W04 [3/5] K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U11 [3/5]
Potrafi obliczać wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych. [RPra_4]
 K_W04 [3/5] K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U11 [3/5]
Zna warunki na niezależność zmiennych losowych i potrafi ją weryfikować. [RPra_5]
 K_W04 [3/5] K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U11 [3/5]
Potrafi wyznaczać rozkłady funkcji zmiennych losowych, w szczególności rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych. [RPra_6]
 K_W04 [3/5] K_U01 [4/5] K_U03 [3/5] K_U11 [3/5]
Zna i potrafi wykorzystać prawa wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne. [RPra_7]
 K_W04 [2/5] K_U01 [2/5] K_U03 [2/5] K_U11 [2/5]
Form of teaching Number of hours Methods of conducting classes Assessment of the learning outcomes Learning outcomes
lecture [01] 30 Formal lecture/ course-related lecture [a01] 
Explanation/clarification [a05] 
Activating method – discussion / debate [b04]  		exam RPra_1 RPra_2 RPra_3 RPra_4 RPra_5 RPra_6 RPra_7
discussion classes [02] 15 Explanation/clarification [a05] 
Activating method – discussion / debate [b04] 
Working with a programmed textbook [d02] 
Laboratory exercise / experiment [e01] 
Individual work with a text [f02]  		course work RPra_1 RPra_2 RPra_3 RPra_4 RPra_5 RPra_6 RPra_7
The student's work, apart from participation in classes, includes in particular:
Name Category Description
Search for materials and review activities necessary for class participation [a01] Preparation for classes
reviewing literature, documentation, tools and materials as well as the specifics of the syllabus and the range of activities indicated in it as required for full participation in classes
Literature reading / analysis of source materials [a02] Preparation for classes
reading the literature indicated in the syllabus; reviewing, organizing, analyzing and selecting source materials to be used in class
Developing practical skills [a03] Preparation for classes
activities involving the repetition, refinement and consolidation of practical skills, including those developed during previous classes or new skills necessary for the implementation of subsequent elements of the curriculum (as preparation for class participation)
Consulting materials complementary to those indicated in the syllabus [a04] Preparation for classes
agreeing on materials complementary to those indicated in the syllabus, supporting the implementation of tasks resulting from or necessary for class participation
Getting acquainted with the syllabus content [b01] Consulting the curriculum and the organization of classes
reading through the syllabus and getting acquainted with its content
Verification / adjustment / discussion of syllabus provisions [b02] Consulting the curriculum and the organization of classes
consulting the content of the syllabus, possibly in the presence of the year tutor or members of the class group, and, if necessary, reassessing the provisions concerning special conditions for class participation, e.g., space and time requirements, technical and other requirements, including conditions for participation in classes outside the walls of the university, classes organized in blocks, organized online, etc.
Determining the stages of task implementation contributing to the verification of learning outcomes [c01] Preparation for verification of learning outcomes
devising a task implementation strategy embracing the division of content, the range of activities, implementation time and/or the method(s) of obtaining the necessary materials and tools, etc.
Studying the literature used in and the materials produced in class [c02] Preparation for verification of learning outcomes
exploring the studied content, inquiring, considering, assimilating, interpreting it, or organizing knowledge obtained from the literature, documentation, instructions, scenarios, etc., used in class as well as from the notes or other materials/artifacts made in class
Analysis of the corrective feedback provided by the academic teacher on the results of the verification of learning outcomes [d01] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reading through the academic teacher’s comments, assessments and opinions on the implementation of the task aimed at checking the level of the achieved learning outcomes
Development of a corrective action plan as well as supplementary/corrective tasks [d02] Consulting the results of the verification of learning outcomes
reviewing and selecting tasks and activities enabling the elimination of errors indicated by the academic teacher, their verification or correction resulting in completing the task with at least the minimum passing grade
Attachments
Module description (PDF)
Information concerning module syllabuses might be changed during studies.
Syllabuses (USOSweb)
Semester Module Language of instruction
(no information given)